高数微积分复习.docx

微积分期中复习
第一章函数与极限
一、函数
1、数轴、区间、领域
2、函数的概念：设有两个变量和，如果当某非空集合内任取一个数值时，
变量按照一定的法则(对应规律)，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数。记作，其中变量称为自变量，它的取值范围称为函数的定义域；变量称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作，即。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性
函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数
(1)基本初等函数
①幂函数：(为任意实数)，
，
②指数函数：(且)
③对数函数：(且)。
恒等式：
换底公式：
运算的性质：，。
④三角函数：。
⑤反三角函数：。
(2)反函数：
(3)复合函数：
5、常见的经济函数
(1)成本函数、收益函数和利润函数
，，。
(2)需求函数与供给函数

二、极限的概念与性质
1、数列的极限
(1)数列
(2)数列极限的定义
(3)数列极限的几何意义
2、函数的极限
(1)当自变量时函数的极限
(2)当自变量时函数的极限
(3)左右极限
3、函数极限的主要性质
极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
三、极限的运算
1、极限的运算法则
2、两个重要极限
(1)极限存在的准则
数列极限的夹挤定理、函数极限的夹挤定理和单调有界数列必有极限。
(2)两个重要极限
。
3、无穷小量和无穷大量
(1)无穷小量的定义
(2)无穷小量的性质
①有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量；
②有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
(3)无穷小量的比较
高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小
无穷小量的替换
四、函数的连续性
1、函数连续的概念
(1)函数在一点处连续的定义
设函数在点的某领域内有定义，如果，则称函数在点处连续。
函数在点处连续必须满足下列3个条件：
在点有定义，即有确定的函数值；
②极限存在，即左右极限，存在且相等。
③()，即极限值等于函数值。
(2)函数在区间上连续的定义
函数在内每一点连续，称在闭区间内连续。
函数在内每一点连续，且在右连续，在点作连续，则称在闭区间上连续。
2、连续函数的运算与初等函数的连续性
(1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数；
(2)连续函数的复合函数仍是连续函数；
(3)基本初等函数在其定于内都是连续的。
3、函数的间断点
(1)间断点的定义
(2)间断点的分类
第一类间断点：
若函数当时，左右极限都存在但不相等，跳跃间断点
若函数当时，左右极限都存在且相等，但是不等于函数值或函数值无定义，可去间断点
第二类间断点：
除了第一类间断点外，其他间断点都称为第二类间断点。
4、闭区间上连续函数的性质
最值性、介值性、零值定理。

第二章导数与微分
一、导数的概念
1、引例
(1)平面曲线上切线的斜率
(2)总产量对时间的变化率
2、导数的定义
(函数在一点可导的定义)设函数在点的某领域有定义，当自变量在点处取得该变量，即自变量从改变到(，点仍在该领域内)时，函数取得相应的该变量为
，
若当时，比值的极限存在，即

存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记为
，，，
即。
此时，称函数在点处可导。
(函数在区间可导的定义)若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导。这时对于任一个，都对应着函数的一个确定的到数值，这样就构成了一个新的函数，称此函数为的导函数，简称导数，记作
，，，。
即
。
3、导数的几何意义
函数在点处的导数在几何上就表示了曲线在点处切线的斜率。
4、左导数与右导数
如果极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作，即
，
如果极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作，即
。
显然，在点处可导的充要条件是在点处的左右导数存在且相等，即
。
如果函数在开区间内可导，且与存在，则称在上可导。
5、函数可导与连续的关系
若函数在点处可导，则函数在点处连续(即可导必连续)。

二、导数的基本公式与运算法则
1、函数和、差、积、商的求导法则

()
2、反函数的求导法则
设函数在某一区间内单调、可导，且，则它的反函数在对应区间内也单调可导，且有
。
3、复合函数的求导法则
。
4、导数的基本公式
5、隐函数求导法则
6、对数求导法则
三、高阶导数
重点是二阶导数
四、参数式函数的导数
参数方程的求导法则，难点是参数方程的二阶导数。应用是求曲线的切线和法线方程。
五、函数的微分
1、微分的定义
设函数在点的某个领域内有定义，自变量自取得该变量(，点仍在该领域内)，若函数的相应该变量
，
克表示为

其中是只与有关而与无关的常数，是当时比高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称为函数在点处的微分，记作
，，，
即

当时，也称为的线性主部。
函数在点可微的充分必要条件是函数在点处