高中物理奥赛辅导 振动与波动.docx

第7讲振动与波动
一、知识点击
1．简谐运动的描述和基本模型
⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x，且其所受合力F满足，故得，
则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即
⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期，式中m是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．
⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为，在一些“异型单摆”中，的含义及值会发生变化。
（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为和，则它们的运动学方程分别为

因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即
由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为
这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为

合振动的初相满足
2．机械波：
（1）机械波的描述：如果有一列波沿x方向传播，振源的振动方程为y=Acosωt，波的传播速度为，那么在离振源x远处一个质点的振动方程便是，在此方程中有两个自变量：t和x，当t不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．
（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。如果一列简谐波在平面内，以波速u沿轴正方向传播，振源（设其位于坐标原点）的振动方程为，由于波是振动状态的传播，故知坐标原点的振动状态传播到离振源处要滞后的时间。这表明若坐标原点振动了t时间，x处的质点只振动了的时间，于是x处振动质点的位移可表为

显然，上式适用于表述ox轴上所有质点的振动，它就是平面简谐波的波函数，也常称为平面简谐波的波动方程。
同理，如果简谐波沿ox轴负方向传播，则波函数为
为了加深对波函数物理含义的理解，下面以为例做－讨论。
①当时（好似用摄像机对着坐标为这一质点进行拍摄），则
。它表示的是坐标为的质点在不同时刻的位移，即该处质点的振动方程。
②当时（好似用照相机对一组质点在时刻进行照相），则
。它表示在给定的时刻各质点的位移分布情况，相应的图像称为时刻的波形图。
3．波的干涉和多普勒效应
⑴波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都将保持各自原有的频率、波长和传播方向，并不相互干扰．波的这种性质叫做波的独立性．因此在几列波重叠的区域内，每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动，每个质点的振动都是由几个分振动合成的．故在任一时刻，每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的矢量和．这种现象称为波的叠加．
⑵波的干涉：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干波传到同一个区域，可使某些位置的质点振动加强，某些位置的质点振动减弱，而且振动加强和振动减弱的区域相互间隔，这种现象叫做波的干涉。
⑶多普勒效应：当声源和观察者之间存在相对运动时，会发生收听频率和声源频率不一致的现象．该种现象神称为多普勒效应．
为了简单，这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况．
设波速为，波的频率为，接收到的频率为：
（a）观察者以速度u向波源运动：
(b)波源以速度向观察者运动：
(c)波源和观察者都运动：
二、方法演练
类型一、根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型，求振动周期是振动问题的一种基本类型，解题中要注意简谐振动的动力学特征或的形式，从中得出有关等效量。
例1．一简谐运动的系统如图7—1所示，不计一切摩擦，绳不可伸长，
m1、m2及弹簧的劲度系数k已知求m2上下振动的周期。
分析和解：本题是一个弹簧振子的变式模型，解题时要根据受力分析
由牛顿运动定律得出振动的动力学特征，然后由周期公式就可求出其
振动周期
设某一时刻弹簧伸长，绳上张力是FT。
分析m1：
分析m2：
消去FT：，
假设振子平衡时弹簧伸长，此时m1、m2的加速度为零，则有
设m1偏离平衡位置的位移为，则
①
将代入①式，可得

所以这个振子系统的等效质量是，周期为

例2．如图7—2所示，轻杆AB左端A被光滑铰链固定，右端B被一劲度系数为k2的弹簧拉住，弹簧的上端系于一固定点D。杆上的C点系有另一劲度系数为k1的轻弹