补充构造异面直线所成角的几种方法.docx

异面直线所成角的求法
1、正确理解概念
（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线和b所成角的大小，与点O的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，
2、熟练掌握求法
（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°＜≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线B1E与GF所成角的余弦是。

例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

B
M
A
N
C
S
B
M
A
N
C
S
B
M
A
N
C
S

例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

例4如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．

练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()
(第2题)
F1
A
B
C
D1
C1
A1
B1
B1
(第1题)
A1
A
B
C1
D1
C
D
M
N

2.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()

3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC
(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直
4.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；
②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；
④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面
在上述四个命题中，真命题的个数是()
(A)4(B)3(C)2(D)1(E)0
5.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线
(A)不一定存在(B)总共只有一条
F
A
B
C
E
S
(第6题)
(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条
6.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB
的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°

7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成角；=4\*GB3④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④
A
B
C
D
M
(第8题)
N
4
3
8．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，则求MN和BD所成角的正切值为。

9．异面直线a、b成60°，过空间一点P的直线c与a、b成角都为60°，则这样的直线c有条。
10．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）
（A）[30°，90°]（B）[60°，90°]
（C）[30°，60°]（D）[60°，120°]
(第11题)
M
A
B
C
N
C1
A1
B1
11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与AB1所成角的余弦值。

8
A
B
C
D
E
(第12题)
7
8
5
4
4
5
12.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求BE与AC所成角的余弦值。

二.共面、共线、共点问题
共点问题:
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．
共线问题:
证明点共线，常常采用