知识讲解 正态分布理.docx

正态分布

【学习目标】
了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
了解正态曲线与正态分布的性质。
【要点梳理】
要点诠释：
要点一、概率密度曲线与概率密度函数
1．概念：
对于连续型随机变量，位于轴上方，落在任一区间（a，b]内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做的概率密度曲线，以其作为图象的函数叫做的概率密度函数。

2、性质：
①概率密度函数所取的每个值均是非负的。
②夹于概率密度的曲线与轴之间的“平面图形”的面积为1
③的值等于由直线，与概率密度曲线、轴所围成的“平面图形”的面积。
要点二、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
正态变量的概率密度函数表达式为：，（）
其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.
2．正态分布
（1）定义
如果对于任何实数随机变量满足：，
则称随机变量服从正态分布。记为。
（2）正态分布的期望与方差
若，则的期望与方差分别为：，。
要点诠释：
（1）正态分布由参数和确定。
参数是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。是
标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．
要点三、正态曲线及其性质：
1.正态曲线
如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2．正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。

⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。

要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=时取最值；性质⑦说明越大，总体分布越分散，越小，总体分布越集中．
要点四、求正态分布在给定区间上的概率
随机变量取值的概率与面积的关系
若随机变量ξ服从正态分布，那么对于任意实数a、b（a＜b），当随机变量ξ在区间（a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b]上取值的概率．

一般地，当随机变量在区间（－∞，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧以及x轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3）．
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．
2、正态分布在三个特殊区间的概率值：
；
；
。
上述结果可用下图表示：

要点诠释：
若随机变量服从正态分布，则落在内的概率约为0.997，落在之外的概率约为0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。
一般的，服从于正态分布的随机变量通常只取之间的值，简称为原则。
3、求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线对称，与对称的区间上的概率相等。
例如；
②；
③若，则。
(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
①；
②；
③。
【典型例题】
类型一、正态分布的概率密度函数
例1.下列函数是正态密度函数的是（）．
A．，（）都是实数
B．C．D．
【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断．
【解析】正态密度函数为：，
其中指数部分的应与系数的分母处的保持一致，系数为正数且指数为负数．
选项A有两处错误，分别是错为，指数错为正数．选项C，从系数可得=2，而从指数处可得，显然不符．选项D中指数为正，错误．所以正确答案为B．
【总结升华】注意函数的形式特点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图