拓扑学 紧致性.docx

第四章紧致性
紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1度量空间中紧性（简单复习）
定义1设是的一个子集。如果中任一无穷点列有子列收敛于中的一点，则称是相对列紧的；
如果中每个收敛子列的极限点都属于，则称是列紧的；
如果本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）
（1）有限子集总是列紧的。
（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3）若是的列紧子集，则是的有界闭集。
（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果是列紧空间，则
列紧是闭集。
（5）列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2设是的一个子集。是的一族开集，满足，则称为在中的开覆盖；
若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；
若本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称为紧致空间（有的书成为紧空间）
★理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2拓扑空间的紧性
在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为上这个特性取决于上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间的子集为有界闭集它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。
解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？
定义3设为拓扑空间，如果的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称为紧致空间。
★显然，每一紧致空间也都是Lindelöf空间（的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。
定义4设为拓扑空间的非空子集，若作为的子空间是紧致的，则称为的紧致子集。
例1实数集不是紧致空间。
因为为的开覆盖，但是中任何有限子集族

的并集为，它不能覆盖，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖只有。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。
例2的开区间不是紧致的。
因为开区间族：

是的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖。
例3的子空间（为正整数集）是紧致的。
因为，任给的一个开覆盖，中有一个成员包含0，记这个成员为（开区间）。于是，开区间除了有限个“”外，它要包含的所有其余的点，因此，对于中的每一个未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。
例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。
●重新看一下定义4：
说为拓扑空间的紧致子集，是指中的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。
定理1拓扑空间的子集是的紧致子集每一由的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。
证明：假设是紧致的。令是由的开集组成的的一个覆盖，那么，就是中开集所组成的的一个开覆盖。由于是紧致的，从而有一个有限子族

可以覆盖，即它就是的一个覆盖的有限族。
反之，设的每一由的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设为的由的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为

而

故是的紧致子集。
定理2设为拓扑空间的基，若由的成员构成的的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则为紧致空间。
证明：设是的任一开集。对于，则是开集，故存在的子族，使得。令
（即，覆盖中所有成员的中集族）
由

即，是中成员构成的的覆盖。
如果有有限子覆盖，不妨设为。故存在，使得，从而。于是，的有限子集族一定是的子覆盖。所以，为紧致空间。
定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。
证明：设是紧致空间的闭子集，于是是的一个开集。
如果是的任一开覆盖，不难看出构成的一个开覆盖。
又因为是紧致的，故中存在有限集族是的有限子覆盖，而是的一个有限子覆盖，即闭集的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，是紧致的。
●下面的几个定理不加以证明的给出。
定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。
定理5若均为紧致空间，则积空间为紧致空间。
定理6设是从拓扑空间到的连续映射，若是的紧致子集，则是的紧致子集。
上述定理的解释：
a
b
N
R
▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些