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第四章最优增长理论

通过上一章对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看待。为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范围，或者说必须对索洛模型加以改进。
从何处着手进行改进呢？对于这个问题，只要注意一下索洛的基本做法——把储蓄率视为不能由模型本身来决定的外在因素，而储蓄率对经济增长有着重要影响，就可看出应该从储蓄的决定问题出发来对索洛模型加以修正。由于产出不是用于消费，就是用于储蓄以增加投资，所以储蓄的决定问题归结为消费的决定问题。本章和下一章将一改索洛的做法，把消费(和储蓄)纳入到增长模型的内在因素中来，让消费(与储蓄)由模型本身决定。
本章要在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动，建立经济增长的拉姆齐-卡斯-库普曼模型。该模型与索洛模型相似，比较简单，但其中的消费(与储蓄)由具有无限生命的家庭来决定。家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄。企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售活动。该模型由拉姆齐(F.P.Ramsey)1928年初创驺型，1956年分别得到卡斯(D.Cass)和库普曼(T.C.Koopman)的发展和完善。他们三人都规避了市场的不完全性问题和家庭各异所产生的棘手问题，并把世世代代缔结成一个整体。可以说，该模型是对现实世界的高度抽象，为我们分析问题提供了很好的基点。
由于无限生命假设偏离现实，于1965年便出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替增长模型，把无限生命假设改进为假定经济中不断有新家庭加入。这样，经济就表现为一个世代交替的经济，从而使理论模型向现实更靠近一步。关于世代交替理论，将在下一章中介绍。

一些准备知识

卡斯和库普曼从微观角度分析消费与储蓄行为，运用连续时间贴现率和相对风险规避度量，提出了他们对家庭行为的假设，并在此基础上建立了经济增长模型。为了更好地理解这些假设的意义和拉姆齐—卡斯—库普曼模型的实质，本节对涉及到的一些概念作一解释。

一、现值与贴现

资金的现值(presentvalue)概念是指未来资金的当前价值。比如，一年后的一元钱和当前的一元钱，其价值是不同的。一年后的一元钱价值较低，而当前的一元钱可以存入银行，一年过后便获得多于一元的收入。现值概念就是基于这一常识而得出的。
把未来资金按照它的当前价值计算，就叫做贴现(discount)。然而，要计算未来资金的现值，就需要有一个贴现率。所谓贴现率(discountrate)，是指一项资金在单位时间内所增加的价值与它的当前价值之比。例如，当前100元存入银行一年变成105元，那么一年后的105元就贴现成为当前的100元，其贴现率为5%。一般来说，时间单位通常选取为年，但也可选取为季度、月、周、日等。这种计时方式就是离散时间(discretetime)，相邻时刻之间正是一个时间单位。但时间也可以论时点，没有离得最近的相邻时刻，这种连续计时的方式就是连续时间(continuoustime)。在离散时间方式下未来资金的贴现公式比较简单，而在连续时间方式下把未来资金进行贴现就要相对复杂一些。
(一)简单贴现公式
在离散时间方式下，我们把选定的时间单位叫做期。假定当期有元资金投资于某项资产,一期过后将得到元总收入，则这元收入的现值为元，其贴现率为：

或者说，或。
一般来说，如果把元资金投资于某项资产，期后可一次得到元总收入，贴现率为，则，即，也即贴现率。公式

称为简单贴现公式，或者称为离散时间贴现公式。显然，对于投资来讲，贴现率就等于投资收益率；对于存款来讲，贴现率等于利率。
如果某项投资的期限为期，收益率为，并且期内每期都有回报，期以后再无回报。设第期内得到的回报为元，则资金流的现值为：

这就是资金流简单贴现公式。

(二)复杂贴现
在连续时间方式下，用表示时刻，并用表示当前时刻。假定当前的元资金等同于时刻的元(,)。也就是说，时刻的元等同于时刻的元。假定贴现率在各个时刻都是一样的，即不随时间变化而浮动。按照贴现率的含义，时刻的元贴现成为时刻的元(或者说时刻的元变成为时刻的元)，其单位时间内资金价值的增加量为，因而贴现率应该为：

这是一个与时刻和无关的常数。于是，令，便可得到：

既然为常数，上式便蕴含着，这就是在贴现率下，时刻的元贴现成为当前时刻的元时的贴现公式，通常把它写成如下形式：

此式称为复杂贴现公式，或称为连续时间贴现公式。
对于连续时间资金流来说，即每个时刻都有一定数量的资金(这里，)，设贴现率为，则把这个资金流向当前时刻()贴现后，它的现值为：

此式称为资金流复杂贴现公