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基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析

学院：航空宇航学院
专业：工程力学
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1.问题描述
考虑端点受集中力F作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m，高度h=1m，宽度b=1m。材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises屈服准则，屈服强度为，弹性模量，泊松比。

图1受集中力作用的悬臂梁图2钢材的应力-应变行为
首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷和塑性极限载荷；其次利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷、塑性极限载荷、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。
理论分析
2.1梁的弹塑性纯弯曲
对于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受弯矩M作用，如图3所示，根据平截面假定，有

图3矩形截面梁受弯矩M的作用
（1）
其中为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度以与y同向为正，则在小变形情况有
（2）
当弯矩M由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke定律给出
（3）
再由平衡方程，可得到
（4）
其中，是截面的惯性矩。将带入（3）式，可知

显然，最外层纤维的应力值最大。当M增大时，最外层纤维首先达到屈服，即
（5）
这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于
（6）
对应的曲率可由式（4）求得
（7）
当时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为不再增加，塑性区将逐渐向内扩大。弹塑性的交界面距中性面为。
在弹性区：，；
在塑性区：，
在弹塑性区的交界处，，因而，由此可求出此时的曲率和弯矩分别为
（8）
（9）
从这两个式子消去，可得时的弯矩-曲率关系为
（10）
或
（12）
当M继续增加使得时，截面全部进入塑性状态。这时，而。当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯矩。可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为
（13）
采用以下量纲为一的量：
，（14）
矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成
（15）
2.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲
考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁，若（本例中满足此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。
本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A点与B点）应力的绝对值最大。当F增加时，A、B点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷
（16）
当时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。设在处有，则。在范围内的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于
（17）
其中已用到。式（17）证明，弹塑性 区域的交界线是两段抛物线。
当时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯矩，即,这时梁内塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。这时，由于根部的曲率可以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。因此，即为悬臂梁的极限载荷，悬臂梁不能承受超过的载荷。

图4受集中力作用的悬臂梁
在小挠度情形下，利用的关系可以求得梁的挠度。具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以带入式（15）可得
（18）
其中，，，，，利用边界条件和在处的关于y和的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端挠度的表达式
（19）
其中是f=1（即）时的，可按材料力学方法求出为
（20）
当（即）时，式（19）给出相应的梁端挠度为
（21）
代入题目所给数据可得到

有限元分析
3.1有限元模型
此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模型，其长度l=10m，高度h=1m。
3.2材料属性定义
圆筒材料为钢材，弹性模量200Gpa，屈服强度380Mpa，泊松比0.3，截面属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。
3.3分析步的定义
由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。
3.4载荷施加和边界条件
布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支，右上端顶点施加集中力载荷。
3.5网格划分
按照四节点四边形平面应力单元CPS4I（如图5）划分网格，定义不同大小位移载荷进行分析计算，分析采用Mises准则。

图5悬臂梁的有限元网格
3.6结果及分析
3.6.1弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定
当取时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应变均为0，可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性阶段。

图6等效塑性应变云图
当取时，等效塑性应变分布如图