微积分求极限的方法.docx

求极限
方法一：直接代入法
例一：limx→-2（3x2-5x+2）=24
例二：limx→0（1-2x-3）=53
类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
limx→3x2-3x4+x2+1
知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0
limx→2x2-3x-2
知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于∞
方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）
普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似limx→3x2-9x-3=limx→3（x+3）
下面讲个例
知识点3：xn-yn=(x-y)(xn-1+xn-2y+…+yn-1)
例三：limx→1xm-1xn-1=limx→1xm-1+xm-2+…+1xn-1+xn-2+…+1=mn
方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）
例四：limx→∞x2+x-x=limx→∞xx2+x+x=12
方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）
例五：limx→0xx+1-x-1=limx→0x+1+x-12=1
方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）
例六：limx→42x+1-3x-2-2

知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）
例七：limn→∞（n-1）2n-3=∞（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）
例八：limx→∞1000x1+x2=0（分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）
例九：limx→∞2x+36x-1（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数）
方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）
例十：limx→131-x3-11-x

知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）
例十一：limx→∞x2+1x3+x（3+cosx）=0函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0

所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现00或∞∞，都可以使用洛必达法则求解极限。