应力波理论复习资料.docx

复习内容：

概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；

主要内容：
一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。

解:
X+dX
X
F(X+dX,t)
F(X,t)
X
dX

在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有

根据牛顿第二定律,有

解之,有

而,故上式可以化为
(a)
对于一维应力纵波,连续可微,记

则
代入(a)式,可得
(b)
因为,,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:

二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
(1)
解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②其中为待定系数,整理可得:
(a)
根据特征线求解方法,特征线特征方程为

解之,得,,即特征线的微分方程为:

将其积分即可得到特征线方程。
由(a)式,整理有

即
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:

(2)
解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中为待定系数,整理可得:
(a)
根据特征线求解方法,特征线特征方程为

解之,得,,即特征线的微分方程为:

将其积分即可得到特征线方程。
由(a)式,整理有

即
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:

(3)
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:
(a)
根据特征线求解方法,特征线特征方程为

解之,得,,即特征线的微分方程为:

将其积分即可得到特征线方程。
由(a)式,整理有

即
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:

(4)
解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得:
(a)
根据特征线求解方法,特征线特征方程为

解之,得,,即特征线的微分方程为:

将其积分即可得到特征线方程。
由(a)式,整理有

即
将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:

三、用特征线法求解波的传播。
设半无限长弹性杆初始状态为t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为,用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。
解:

OA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。
对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:

引入积分常数、、、、、后,可写成
右行波有:左行波有:
AOX区
在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有

由（1）（2）可得：
由初始条件,有,则可解得
由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。
对于Aot区
该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有

沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有
,,
此外,由边界条件已给出,即
于是可解得

可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动和以的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。
特征线BC的特征方程可表示为,则有。
由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为

四、波形曲线和时程曲线
一线性硬化材料半无限长杆，应力应变关系如图所示，其中。在杆的左端处施加如图所示的载荷。
（1）画出图；（2）画出时刻的波形曲线；

（3）画出m位置的时程曲线。

解：半无限长杆中弹性波波速：
塑性波速：
产生塑性波的速度，时间。（图上把关键点的坐标表示清楚，图、波形图和时程图尽量画在一起）

五、弹性波的相互作用
处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；
1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b)

(c)
(b)

(a)

解:作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。
（a）
2(5)(7)
v
(4)1
7
M
N
t

5
2
3
1
A
B
4
6
X
6
3

由波系图和状态图可得，两杆撞击结束时间为,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相