卡尔曼滤波的MATLAB实现.docx

卡尔曼滤波的MATLAB实现
一、实验内容
一个系统模型为

同时有下列条件：
初始条件已知且有。
是一个标量零均值白高斯序列，且自相关函数已知为。
另外，我们有下列观测模型，即

且有下列条件：
和是独立的零均值白高斯序列，且有

对于所有的j和k，与观测噪声过程和是不相关的，即

我们希望得到由观测矢量，即估计状态矢量的卡尔曼滤波器的公式表示形式，并求解以下问题：
求出卡尔曼增益矩阵，并得出最优估计和观测矢量之间的递归关系。
通过一个标量框图（不是矢量框图）表示出状态矢量中元素和估计值的计算过程。
用模拟数据确定状态矢量的估计值并画出当k＝0，1，…，10时和的图。
通常，状态矢量的真实值是得不到得。但为了用作图来说明问题，表P8.1和P8.2给出来状态矢量元素得值。对于k＝0，1，…，10，在同一幅图中画出真实值和在（c）中确定的的估计值。对重复这样过程。当k从1变到10时，对每一个元素i＝1，2，计算并画出各自的误差图，即。
当k从1变到10时，通过用卡尔曼滤波器的状态误差协方差矩阵画出和，而，。
讨论一下（d）中你计算的误差与（e）中方差之间的关系。

二、实验原理
1、卡尔曼滤波简介
卡尔曼滤波是解决以均方误差最小为准则的最佳线性滤波问题，它根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值（常常是状态变量的估计值）的形式给出其信号模型是从状态方程和量测方程得到的。
卡尔曼过滤中信号和噪声是用状态方程和测量方程来表示的。因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和测量方程。它不需要知道全部过去的数据，采用递推的方法计算，它既可以用于平稳和不平稳的随机过程，同时也可以应用解决非时变和时变系统，因而它比维纳过滤有更广泛的应用。
2、卡尔曼滤波的递推公式
………(1)
………(2)
………(3)
………(4)
3、递推过程的实现
如果初始状态的统计特性及已知，并
令
又
将代入式（3）可求得，将代入式（2）可求得，将此代入式（1）可求得在最小均方误差条件下的，同时将代入式（4）又可求得；由又可求，由又可求得，由又可求得，同时由与又可求得……；以此类推，这种递推计算方法用计算机计算十分方便。

三、MATLAB程序
%卡尔曼滤波实验程序
clc;
y1=[3.29691969,3.38736515,7.02830641,9.71212521,11.42018315,15.97870583,22.06934285,28.30212781,30.44683831,38.75875595];%观测值y1(k)
y2=[2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361];%观测值y2(k)
p0=[1,0;0,1];p=p0;%均方误差阵赋初值
Ak=[1,1;0,1];%转移矩阵
Qk=[1,0;0,1];%系统噪声矩阵
Ck=[1,0;0,1];%量测矩阵
Rk=[1,0;0,2];%测量噪声矩阵
x0=[0,0]';xk=x0;%状态矩阵赋初值
fork=1:10
Pk=Ak*p*Ak'+Qk;%滤波方程3
Hk=Pk*Ck'*inv(Ck*Pk*Ck'+Rk);%滤波方程2
yk=[y1(k);y2(k)];%观测值
xk=Ak*xk+Hk*(yk-Ck*Ak*xk);%滤波方程1
x1(k)=xk(1);
x2(k)=xk(2);%记录估计值
p=(eye(2)-Hk*Ck)*Pk;%滤波方程4
pk(:,k)=[p(1,1),p(2,2)]';%记录状态误差协方差矩阵
end
figure%画图表示状态矢量的估计值
subplot(2,1,1)
i=1:10;
plot(i,x1(i),'k')
h=legend('x1(k)的估计值')
set(h,'interpreter','none')
subplot(2,1,2)
i=1:10;
plot(i,x2(i),'k')
h=legend('x2(k)的估计值')
set(h,'interpreter','none')

X1=[0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670];%由模拟得到的实际状态值X1(k)
X2=[0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.4131868