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变量之间的关系

知识点睛

一、知识框架

二、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：
①自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
②自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
③利用具体情境来体会两者的依存关系。
三、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
①首先要明确表格中所列的是哪两个量；
②分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；③结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
①列表时首先要确定各行、各列的栏目；②一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；
③写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；
④在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
⑤一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
四、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：
①将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并写成关系式的形式。
②根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
③根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；
④根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：
①利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；
②同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；
③根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
五、图象
1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。
2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
4、图象上的点：
①对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；
②过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
③由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
④把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
5、图象理解
①理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
②看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；
③从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
6、常见的图像
六、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法特点表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中关系式法准确地反映了因变量与自变量的数值关系图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势七、具体实例
（1）、小车下滑的时间
教学目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。
教学重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。
（2）、变化中的三角形
教学目标：1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
教学重点：1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
（3）、温度的变化
教学目标：1、经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。
2、结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
3、能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
教学重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
并能从图象中获取变量之间关系的信息，
（4）、速度的变化
教学目标：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。
教学重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。
教学难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。
4-1、速度图象
1、弄清哪一条轴