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Logistic回归模型
1Logistic回归模型的基本知识
1.1Logistic模型简介
主要应用在研究某些现象发生的概率，比如股票涨还是跌，公司成功或失败的概率，以及讨论概率与那些因素有关。显然作为概率值，一定有，因此很难用线性模型描述概率与自变量的关系，另外如果接近两个极端值，此时一般方法难以较好地反映p的微小变化。为此在构建与自变量关系的模型时，变换一下思路，不直接研究，而是研究的一个严格单调函数，并要求在接近两端值时对其微小变化很敏感。于是Logit变换被提出来：
（1）
其中当从时，从，这个变化范围在模型数据处理上带来很大的方便，解决了上述面临的难题。另外从函数的变形可得如下等价的公式：
（2）
模型(2)的基本要求是，因变量（y）是个二元变量，仅取0或1两个值，而因变量取1的概率就是模型要研究的对象。而，其中表示影响的第个因素，它可以是定性变量也可以是定量变量，。为此模型(2)可以表述成：
（3）
显然，故上述模型表明是的线性函数。此时我们称满足上面条件的回归方程为Logistic线性回归。
Logistic线性回归的主要问题是不能用普通的回归方式来分析模型，一方面离散变量的误差形式服从伯努利分布而非正态分布，即没有正态性假设前提；二是二值变量方差不是常数，有异方差性。不同于多元线性回归的最小二乘估计法则(残差平方和最小)，Logistic变换的非线性特征采用极大似然估计的方法寻求最佳的回归系数。因此评价模型的拟合度的标准变为似然值而非离差平方和。
定义1称事件发生与不发生的概率比为优势比(比数比oddsratio简称OR)，形式上表示为
OR=（4）
定义2Logistic回归模型是通过极大似然估计法得到的，故模型好坏的评价准则有似然值来表征，称
-2为估计值的拟合似然度，该值越小越好，如果模型完全拟合，则似然值为1，而拟合似然度达到最小，值为0。其中表示的对数似然函数值。
定义3记为估计值的方差-协方差矩阵，为的标准差矩阵，则称
（5）
为的Wald统计量，在大样本时，近似服从分布，通过它实现对系数的显著性检验。
定义4假定方程中只有常数项，即各变量的系数均为0，此时称
（6）
为方程的显著性似然统计量，在大样本时，近似服从分布。
1.2Logistic模型的分类及主要问题
根据研究设计的不同，Logistic回归通常分为成组资料的非条件Logistic回归和配对资料的条件Logistic回归两种大类。还兼具两分类和多分类之分，分组与未分组之分，有序与无序变量之分。具体如下：
两分类非条件Logistic回归：分组数据的Logistic回归，未分组数据的Logistic回归；
多分类非条件Logistic回归：无序变量Logistic回归，无序变量Logistic回归；
条件Logistic回归：1:1型、1:M型和M:N型Logistic回归。

关于Logistic回归，主要研究的内容包括：
模型参数的估计及检验
变量模型化及自变量的选择
模型评价和预测问题
模型应用
Logistic模型的参数估计及算法实现
2.1两分类分组数据非条件Logistic回归
因变量(反应变量)分为两类，取值有两种，设事件发生记为y=1，不发生记为y=0，设自变量是分组数据，取有限的几个值；研究事件发生的概率与自变量的关系，其Logistic回归方程为：
或
例2.1.1分组数据[1]在一次住房展销会上，与房地产商签订初步购房意向书的有n=325人，在随后的3个月时间内，只有一部分顾客购买了房屋。购买房屋的顾客记为1，否则记为0。以顾客的年家庭收入(万元)作为自变量,对数据统计后如表2.1.1所示，建立Logistic回归模型。

表2.1.1购房分组数据
序号年家庭收入X(万元)签订意
向人数实际购
买人数11.525822.5321333.5582644.5522255.5432066.5392277.5281688.5211299.51510
例2.1.2药物疗效数据[2]为考察某药物疗效，随机抽取220例病人并分配到治疗组和对照组，治疗组采用治疗药物，对照组采用安慰剂。治疗一段时间后观察病人的疗效，得到表2.1.2数据。设y为疗效指标(y=1有效，y=0无效)，为治疗组指标(1为治疗组，0为对照组)，为年龄组指标(1为>45岁，0为其他)。
表2.1.2药物疗效数据
序号治疗分组年龄分组有疗效无效合计111321850210402060301213152400184058 上述两个例子数据都是经过统计加工后的分组数据，对此类数据进行Logistic回归，首先要明确应变量对应事件的发生概率如何确定和进行Logit变换，其次才能建立Logistic回归。为便于数据处理，我们将此类数据的格式作个