不定方程和解不定方程应用题经典.docx

不定方程
———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法
1、筛选试验法
根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z=100共有几组正整数解？
解：当x=1时y﹢z=99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98)(2，97)……(98，1)。
当x=2时y﹢z=98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)……(97，1)。
……
当x=98时，y﹢z=2，这时有一个解。
∵98﹢97﹢96﹢……﹢1==4851
∴方程x﹢y﹢z=100共有4851个正整数解。

2、表格记数法
如：方程式4x﹢7y=55共有哪些正整数解。
解：

X12345……12y5……1××××√√
∴方程4x﹢7y=55的正整数解有
x=5x=12
y=5y=1
3、分离系数法
如：求7x﹢2y=38的整数解
解：y==19-3x-x
令t=x
x=2t
则y==19-7t
2t＞0
19-7t＞0（t为整）→2＞t＞0
t=2，1
当t=2时，x=2×2=4x=4
y=19-7×2=5y=5

当t=1时，x=2×1=2x=2
y=19-7×1=12y=12
第四十周不定方程

专题简析：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6
………
y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

例1．
求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝EQ\F(23－3x,4)。可列表试验求解：
X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1x=5
Y=5y=2
练习一
求3x+2y＝25的自然数解。
求4x+5y＝37的自然数解。
求5x－3y＝16的最小自然数解。

例2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25=1\*GB3①
3x－y－6z＝2=2\*GB3②
由=1\*GB3①×2+=2\*GB3②，得13x+13y＝52
X+y＝4=3\*GB3③
把=3\*GB3③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入=1\*GB3①或=2\*GB3②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52
5x+7y+4z＝26

3x－y－6z＝2

例3
一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：x＝2x＝7
y＝15y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船