0910东大DSPFIR数字滤波器的设计.docx

第六章FIR数字滤波器的设计
IIR数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。但它也有明显的缺点：相位的非线性将引起频率的色散，即不同频率成分有不同延时因子，这在时域上不利于信号波形的保持。若需线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，使滤波器设计变得复杂，成本高。
现代通信技术，如语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，同时可以具有任意的幅度特性。除此而外，FIR数字滤波器还有以下特点：
（1）FIR数字滤波器的h(n)是有限长的，因而滤波器一定是稳定的。
（2）只要经过一定的延时，任何非因果的有限长序列都变成因果的有限长序列，因而总能用因果系统来实现。
（3）FIR滤波器由于h(n)是有限长的，因而可利用FFT算法来实现过滤信号，可以大大提高运算效率。
FIR滤波器的设计方法是选择有限长度的h(n)，使系统频响满足要求。
本章分析的逻辑思路是：线性相位FIR滤波器的特点；FIR数字滤波器的窗函数设计法；FIR数字滤波器的频率采样设计法。

1.线性相位FIR滤波器的特点
1.1数字滤波器的频率特性
线性相位是DF的一种频率特性，为了讨论它，需先简要复习DF的频率特性，并做进一步的深入。
所谓DF的频率特性，即：系统频响，其定义为

式中，称为频率特性（系统频响）；称为幅频特性；称为相频特性，它们均是的函数。
在讨论FIRDF的频率特性时，我们还定义了它的另一种形式，即

式中，称为幅度特性（函数）；称为相位特性（函数）。要注意这两种定义的区别，即
（1），它可正可负，故称为幅度特性。
（2）作为相位特性，其相频曲线是连贯的，没有作为相频特性时的相位突变。
所谓线性相位的FIRDF就是指相位特性是的线性函数，即

或

式中，为常数；是起始相位（初相位），也为常数，由以上两种情况可知
（1）群时延的定义为，所以以上两种情况都满足群时延是一个常数，即：。
（2）相时延的定义为，所以以上两种情况的相时延是：（常数）或（不是常数）。
（3）综合（1）和（2），因为和均为常数，所以线性相位的FIRDF必有恒群时延特性，但只有的FIRDF才有恒相时延特性。
1.2线性相位条件
并非所有的FIRDF都是线性相位的，只有它满足一定条件时才具有线性相位。
使FIRDF成为线性相位的充要条件是
（1）为实数；
（2满足以为中心偶对称：；或奇对称：。
满足偶对称为第一类线性相位，满足奇对称为第二类线性相位。又由于的长度N又分为偶数和奇数两种情况，因而可以有4种类型，如P.176图6-1和图6-2所示，对应于4种线性相位FIRDF，即

下面给出线性相位条件的推导与证明。
（1）偶对称的情况
设长度为N的实序列满足偶对称，即以为中心，有：。此时，N可以为奇数或偶数。
这种情况下，按Z变换定义可以写成：

也可以写成：
对上式进行简单的数学变换可得的另一种表达形式：

在此基础上可进一步将写成：

滤波器的频率响应为

由上式可知：
a.如令，则
（1）
（2）
b.式（1）的幅度函数是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是的偶函数和周期函数。
c.式（2）的相位函数具有严格的线性相位，如P.179图6-3所示。由于，，所以此时的线性相位不仅恒群时延，而且恒相时延。
d.不仅表示群时延为常数，还表示此时的FIRDF有的延时，即有一个等于长度N一半的延时量。
（2）奇对称的情况
设长度为N的实序列满足奇对称，即以为中心，有：。此时，N可以为奇数或偶数。
这种情况下，按Z变换定义可以写成：

也可以写成：
对上式进行简单的数学变换可得的另一种表达形式：

在此基础上可进一步将写成：

滤波器的频率响应为

由上式可知：
a.如令，则
（3）
（4）
b.式（3）的幅度函数是标量函数，可以包括正值、负值和零，而且是的奇函数和周期函数。
c.式（4）的相位函数具有严格的线性相位，如P.180图6-4所示。由于，，所以此时的线性相位仅恒群时延。
d.不仅表示群时延为常数，还表示此时的FIRDF有的延时，即有一个等于长度N一半的延时量。
备注：如式（3）表示成下式

则式（4）可表示为

1.3幅度函数的特点
由于的长度N取奇数或偶数时对的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面分4种情况讨论其幅度特性的特点。应当指出幅度特性的特点反映了FIRDF的滤波性。
（1）偶对称，N为奇数
从偶对称的幅度函数式（1）

可以看出，不但对于呈偶对称，也对于呈偶对称，即

因此，可以将内两两相等的项合并，即项与项合并，项与项合并，依次类推。但是由于N是奇数，两两合并的结果必然余下中间一项，即项是单项，无法和其他项合并，这样幅度函数可以表示为

上式是由的前个样值