一阶线性微分方程组常系数线性微分方程组的解法1.docx

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）

目的与要求:理解常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念,掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式,特征根,特征向量的概念.
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程：
1新课引入
由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组
SKIPIF1<0(3.20)
其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.
由线性代数知识可知，对于任一SKIPIF1<0矩阵SKIPIF1<0，恒存在非奇异的SKIPIF1<0矩阵SKIPIF1<0，使矩阵SKIPIF1<0成为约当标准型.为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换SKIPIF1<0(3.21)
其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0,将方程组(3.20)化为
SKIPIF1<0(3.22)
我们知道，约当标准型SKIPIF1<0的形式与矩阵A的特征方程
SKIPIF1<0
的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵SKIPIF1<0的特征根.
下面分两种情况讨论.
(一)矩阵A的特征根均是单根的情形.
设特征根为SKIPIF1<0这时
SKIPIF1<0
方程组(3.20)变为
SKIPIF1<0(3.23)
易见方程组(3.23)有n个解
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n个解
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
这里SKIPIF1<0是矩阵SKIPIF1<0第SKIPIF1<0列向量，它恰好是矩阵SKIPIF1<0关于特征根SKIPIF1<0的特征向量，并且由线性方程组SKIPIF1<0所确定.容易看出，SKIPIF1<0构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时为SKIPIF1<0.于是我们得到
定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根SKIPIF1<0彼此互异，且SKIPIF1<0分别是它们所对应的特征向量，则
SKIPIF1<0
是方程组(3.20)的一个基本解组.

例1试求方程组
SKIPIF1<0
的通解.
解它的系数矩阵是
SKIPIF1<0
特征方程是
SKIPIF1<0
即SKIPIF1<0
所以矩阵SKIPIF1<0的特征根为SKIPIF1<0．先求SKIPIF1<0对应的特征向量
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0满足方程
SKIPIF1<0
即
SKIPIF1<0
可得SKIPIF1<0.取一组非零解，例如令SKIPIF1<0，就有SKIPIF1<0.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
故方程组的通解是
SKIPIF1<0
(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根
从上一讲我们已经知道，求解方程组
SKIPIF1<0（3.20）
归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设SKIPIF1<0是一对共轭根，由定理3.11，对应解是
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．
定理3.12如果实系数线性齐次方程组
SKIPIF1<0
有复值解SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是实向量函数，则其实部和虚部
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
证明因为SKIPIF1<0是方程组(3.8)的解，所以
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部