高斯平面直角坐标.docx

第八章高斯平面直角坐标
§1正形投影的基本公式
一、地图投影的概念
1.投影的必要性及其方法
①投影的必要性：
测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法：
按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）
x＝F1(B，L)
y＝F2(B，L)
式中B，L——椭球面上的大地坐标
x，y——投影平面上的直角坐标
按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类
椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。若展开成平面，必产生变形。投影按变形的性质可分为：
等距离投影━投影后地面点见的距离不变
等面积投影━保证投影后面积不变
等角投影━投影后微分范围的形状相似
3.测量采用的投影
测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：
1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）
椭球面上投影面上

BB′
dcdadc′da′

ACA′C′

dbdb′

2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。
二、正形投影
1.正形投影的特性
有微分三角形如图：
对于保角投影：
A′＝A；B′＝B；C′＝C
所以长度比
故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：
aa′

bb′
oo
ee′
cc′

dd′

但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。
结论：
正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。
2.正形投影基本公式（充要条件）
l+dl
L
GlB+dB
P2B
dS
P1

特定
子午线

设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2
椭球面上：P1(B，L)
P2(B＋dB，L＋dL)
大地线长度dS
投影面上：p1(x，y)
p2(x＋dx，y＋dy)
大地线长度的投影ds
xP2′

ds

P1′
y
o
投影长度比为：
下面分别推导上式中dS和ds：
（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）
dS2＝(MdB)2＋(NcosBdl)2
＝(MdB)2＋(rdl)2
＝r2[(dB)2＋(dl)2]
引入等量纬度，则dq＝()dB
（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）
dS2＝r2[(dq)2＋(dl)2]
另：x＝F1(B，L)
y＝F2(B，L)
因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以有：
x＝f1(q，l)
y＝f2(q，l)
微分得：
故：
P2

MdB

A
90°-A
P1rdl

令：
则：ds2＝Edq2＋2Fdq.dl＋Gdl2
故：⑴
由微分三角形知：
所以：dl＝dq·tanA⑵
将⑵代入⑴得：

欲使投影为正形投影，长度比m应与方向(A)无关。为此：
令：F＝0；E＝G
即：⑶
⑷
则上式为：（可看出m与方向无关）
由⑶式可解得：⑸
⑸式代入⑷得：⑹
⑹式开平方得：⑺
⑺取正号代入⑸得：⑻
（注：⑺式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）
故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：

（此即正形投影的充分必要条件）
3.证明复变函数x＋iy＝f(q＋il)当f′存在、且≠0时亦为正形投影
证明如下：
基本投影公式x＝F1(B，L)
y＝F2(B，L)
亦可写成x＝f1(q，l)
y＝f2(q，l)
用复变函数形式写出为x＋iy＝f(q＋il)（q＋il—复变数；）
令x＋iy＝z
q＋il＝u
则z＝f(u)
求导⑼
⑽
由⑼、⑽式可得⑾
因z＝x＋iy
故⑿
⒀
将⑿、⒀式代入⑾式得⒁
⒁式虚实分开
此即柯西黎曼方程。证毕。

练习及作业：
1、阅读
§8.1，§8.2
2、理解：
①、投影的必要性及方法。
②、投影的分类及测量采用的投影类型。
③、正形投影的特性。
§2高斯投影及高斯平面直角坐标
一、高斯投影的一般解释及其特性
1.高斯投影的几何意义
x

中
央
子
午
线

y

边
缘
子
午
线

N

p1
sP1
S
p2
P2o
赤道

S

高斯投影的几何意义