高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理.docx

平面几何中几个重要定理及其证明
塞瓦定理
1．塞瓦定理及其证明
定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有
．
证明：运用面积比可得．
根据等比定理有
，
所以．同理可得，．
三式相乘得．
注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点．
证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有
．
因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．
梅涅劳斯定理
3．梅涅劳斯定理及其证明
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
．

证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG//AB，所以————（1）
因为CG//AB，所以————（2）
由（1）÷（2）可得，即得．
注：添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG）使得命题顺利获证．
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，
那么，D、E、F三点共线．
证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有
．
因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．
托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有AB·CD+BC·AD=AC·BD．
证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE=BAM．
因为ADB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得
，即————（1）
由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得
，即————（2）
由（1）+（2）得
．
所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．
注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．
证法1（同一法）：
在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．
可得AB×CD=BE×AC———（1）
且———（2）
则由及（2）可得∽．于是有
AD×BC=DE×AC———（3）
由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．
据条件可得BD=BE+DE，则点E在线段BD上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．
证法2（构造转移法）
延长DA到A/，延长DB到B/，使A、B、B/、A/四点共圆．延长DC到C/，使得B、C、C/、B/四点共圆．（如果能证明A/、B/、C/共线，则命题获证）
那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆．
因此，，．
可得.
另一方面，，即．
欲证=，即证

即．
据条件有，所以需证
，
即证，这是显然的．所以，，即A/、B/、C/共线．所以与互补．由于，，所以与互补，即A、B、C、D四点共圆．

7．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD
证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．
可得AB×CD=BE×AC————（1）
且————（2）
则由及（2）可得∽．于是
AD×BC=DE×AC————（3）
由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)
因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD+BC×ADAC×BD
所以BE+DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．
西姆松定理
8．西姆松定理及其证明
定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．
证明：如图示，连接PC，连接EF交BC于点D/，连接PD/．
因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE=FEP．
因为A、B、P、C四点共圆，所以BA