面电荷密度为的电荷式中的为常数试求球面上的总电荷量.docx

2．1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷，式中的为常数。试求球面上的总电荷量。

解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为，对应的弧长为，因此，。

2.14题，在下列条件下，对给定点求divE的值：
（1），求点处divE的值。
（2），
求点处divE的值。
解：
（1）
（2）
2.15题，半径为a的球中充满密度为ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为：

其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。
解：利用高斯定理的微分形式，即得
在r≤a区域中：
在r≥a区域中：
2．20，在半径a＝1mm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z轴方向通过电流I＝20A，试求：（1）处的B；（2）处的B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。
解：
（1）圆柱形导体内的电流密度为

利用安培环路定律得

（2）利用安培环路定律得

（3）圆柱内单位长度的总磁通为

2．22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图题2.22所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。
解：

因空腔中电流密度为零，可视为同时存在J和－J的电流密度，这样，可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加：一个电流密度为J，均匀分布在半径为b的圆柱内；另一个电流密度为－J，均匀分布在半径为a的圆柱内。空间的场，便是它们共同产生的。
由安培环路定律，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为：

半径为a、电流密度为－J的圆柱的磁场为：

其中，分别是点和到场点P的位置矢量。
将上面两式叠加，可得空间各区域的场：
圆柱外：
圆柱内的空腔外：
空腔内：
可见，空腔内是均匀场。
2．24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如图所示。滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，求电流i。

解：穿过导体回路abcda的磁通为
因此，感应电流为

2．26求下列情况下的位移电流密度的大小
（1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度

（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度

（3）一大功率变压器在填充的油中产生的电场强度

设油的相对介电常数
（4）工频（f=50Hz）下的金属导体中，
设金属导体的。
解：
（1）在真空中，传导电流为0，因此由，得到位移电流为：

故
（2）由，得到位移电流为：

故
（3）

故
（4）

故
2．27同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，如图所示。假设内、外导体间的电场强度为。（1）求与E相伴的H；（2）确定k的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线区域内的位移电流。

解：
（1）由麦克斯韦方程组得到，因此

将上式对时间t积分，得到
（2）为确定k值，将上述H代入得到

将上式对时间t积分，得到
将其与题中的E比较，得到
因此：
同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为：

（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度

位移电流密度为：

（4）在区域内的位移电流为：

2．30煤质1的电参数为；煤质2的电参数为。两种煤质分解面上的法向单位矢量为，由煤质2指向煤质1。若已知煤质1内邻近分解面上的点P处的磁感应强度，求P点处下列量的大小：。
解：在分界面法线方向的分量为：

利用磁场边界条件，得到
利用磁场边界条件，得到
2．31煤质1的电参数为；煤质2可视为理想导体（）。设y=0为理想导体表面，y>0的区域（煤质1）内的电场强度为，试计算t=6ns时：（1）点P（2，0，0.3）处的面电荷密度；（2）点P处的H；（3）点P处的面电流密度。
解：（1）
（2）由，得到

对时间t积分，得到

（3）