高中数学 课时分层作业17 基本不等式的证明（含解析）苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题.doc

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课时分层作业(十七)基本不等式的证明
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是()
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s<t
A[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是()
A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)
D[a＜0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C错；
由基本不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是()
A．ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 B．ab≤eq\f(a2＋b2,2)
C.eq\f(1,ab)≥eq\f(2,a2＋b2) D.eq\f(1,ab)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2
D[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由eq\f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴eq\f(1,ab)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋b)))2，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()
A．a＞b＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)
B．a＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞b
C．a＞eq\f(a＋b,2)＞b＞eq\r(ab)
D．a＞eq\r(ab)＞eq\f(a＋b,2)＞b
B[a＝eq\f(a＋a,2)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\r(b·b)＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()
A.eq\f(1,ab)＞eq\f(1,2) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1
C.eq\r(ab)≥2 D.eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)
D[由a＋b＝4，得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(4,2)＝2，故C错；
由eq\r(ab)≤2得ab≤4，
∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，故A错；
B中，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1，故B错；
由eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2得a2＋b2≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝8，
∴eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则eq\r(a－bb－c)与eq\f(a－c,2)的大小关系是________．
eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2).]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值eq\f(a＋b,2)的大小关系为________．
x≤eq\f(a＋b,2)[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，
∴x≤eq\f(a＋b,2).当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36[f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq