矩阵的秩在现实中的应用.docx

矩阵的秩的应用
(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用
矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义,咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。那么我们首先从向量组之间的关系着手。
1.向量组间的关系
(1).定义
：若向量组中每个向量都可以由向量组线性表示，则称向量组组能由向量组线性表出。两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。
向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。
(2).有关定理
=1\*GB3①
若向量组A能由向量组B线性表示，则知秩秩B；
=2\*GB3②[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编王萼芳,石生明修订高等代数-3版.[M]北京:高等教育出版社，2003，9。
[2]黄光谷,黄东,李杨,蔡晓英编高等代数辅导与习题解答[M]华中科技大学出版社，2005，3。
[3]周泰文,王家宝,贺伟奇编线性代数全程导学湖南科学技术出版社，2002，11。
[4]陈志杰编高等代数与解析几何(上册)[M]北京：高等教育出版社，2008.12。
[5]冯锡刚编解析几何中矩阵秩的应用[J]教学管理与研究社，
[6]邹晓光编互素多项式与矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J]金华职业技术学院学报，
2006年第6卷第1期。

等价的向量组必等秩,但是其逆不真；
=3\*GB3③
矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。
=4\*GB3④
一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。
2.判定向量组是否线性相关
利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有个维向量的向量组。
令，当，此向量组是线性无关的，当，此向量组是线性相关的。
例:设。
（1）问t的值取多少时，该向量组线性相关？
（2）问t的值取多少时，该向量组线性无关？
解:
从最后一个矩阵可知：
（1）t5时，,向量组线性无关；
（2）t=5时，,向量组线性相关。
3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性
利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。通常用于证明具有两对向量的向量组。
例:设向量组是线性无关的，根据矩阵的秩的有关性质试证：也是线性无关的。
证明令
则
因矩阵可逆，故
所以即线性无关。
（二）、矩阵的秩在线性方程组方面的应用
1.矩阵的秩和非齐次线性方程组
矩阵的秩在判断线性方程组解情况中，有很重要作用，能够快速确定方程组解的个数。接下来我们从定理的证明入手，来探究矩阵的秩与线性方程组之间的关系。
定理
：对于非齐次

此方程组有解的充分必要条件即为方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。
例:分析以下方程组，探究分别取什么值时，方程组的解是什么样子?

解:其系数矩阵

增广矩阵

若要方程组有解则需.

由此可以看出
当时方程组无解。
当时方程组含无穷多个解。
当,且时方程组有唯一解。
总结：
对于非齐次线性方程组，我们设A为其系数矩阵，B为其增广矩阵。
当且时，方程组有唯一的解。
当，方程组有无穷多个解。
当时，方程组无解。
由上可以看出，矩阵的秩和线性方程组的解之间是紧密的相连的，从矩阵的秩入手，不仅可以简单判断出非齐次线性方程组是否有解，而且可以判断出齐次线性方程组解的情况。
2.矩阵的秩与齐次线性方程组
定理2NOTEREF_Ref279676199\f\hError!Bookmarknotdefined.:对于齐次线性方程组

在齐次线性方程组有非零解时，它有基础解系，并且基础解系所含有解的个数等于，这里r表示系数矩阵的秩。
例
（1）
解:方程组的系数矩阵为，

计算系数矩阵的行列式,

时，

时，

综上可得，当时，,此时方程组有两个非零解。
此时方程组可化简为
（2）
方程组(1)与(2)同解，且为

和
由于两个向量组线性无关，故为方程组的基础解系，令表示方程组的通解。
因此，方程组的通解为其中
当时，＝2,此时方程组有一个非零的解
方程组化简为
（3）
方程组(1)与方程组(3)同解

由于线性无关，故而可以作为方程组的一个基础解系，
所以，此方程组的通解为其中
当且时，,此时方程组只有零解。
(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用
通过以上对矩阵秩的相关定理和结论的证明，我们还将矩阵的秩推广到解析几何中，来判断空间几何中两条直线的位置关系。主要用直线的方程构造方程组，运用上面介绍矩和方程组的关系，分析方程组系数矩阵与它的增广矩阵的秩的情况，就能够确定方程组的解的情况，进而判断空间中两条直线的位置关系，下面详细阐述有关解法