泰勒级数及其应用09429.docx

第五节泰勒级数及其应用
教学目的：掌握TaylorTh，了解函数的Taylor级数与Taylor
展式的关系；能灵活运用导出公式间接求出函数的泰勒展式；
了解函数泰勒展式的作用.
重难点：能灵活运用导出公式间接求出所给函数的泰勒展式以及麦克劳
林展式.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合
教学过程：
一、泰勒级数

1.通过前面的学习我们知道，当级数在其收敛域内一定有和函数.现在我
们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？
问题：已知函数有SKIPIF1<0.
问：(1)对于一般的函数SKIPIF1<0是否也有SKIPIF1<0？
(2)如果能展开,项的系数SKIPIF1<0如何确定?

(3)展开式是否唯一?
(4)在什么条件下才能展开成幂级数?

2.由第四章中的导数应用知道，我们可以用多项式近似表示函数，进而
导出函数的泰勒中值定理.（作用：用多项式近似表示函数）
【定理】（Taylor中值Th）:设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内具有直到n+1
阶导数,则在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为
拉格朗日型余项SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.
3.【定理】（TaylorTh）:设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内具有任意阶导数,则
在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.
其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的拉格朗日型余项SKIPIF1<0.
证明:由于SKIPIF1<0.
所以SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
4．函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0有泰勒展式SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有任意阶导数
且SKIPIF1<0.
注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的.
2）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的Taylor级数，等
式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时成立，称为函数的
Taylor展式.
5．泰勒级数与麦克劳林级数
设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点具有任意阶导数，则称
(1)SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的泰勒级数,
记作SKIPIF1<0.
(2)SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的麦克劳林级数,
记作SKIPIF1<0.SKIPIF1<0
注意问题:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点具有任意阶导数，那么
级数在收敛区间内是否收敛于SKIPIF1<0
？
例:SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点任意可导,且
SKIPIF1<0,

于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0
显然SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
结论：当级数SKIPIF1<0收敛于SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时
有泰勒展式.
二、函数展开成幂级数

1．直接法(麦克劳林级数法)
步骤：(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0；
(3)写出SKIPIF1<0的麦克劳林级数SKIPIF1<0
并求出级数的收敛半径SKIPIF1<0；

(4)讨论SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0，
(5)在收敛区间SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
例1将SKIPIF1<0展开成SKIPIF1<0的幂级数.
解：(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；
(2)SKIPIF1<0
SKIPIF1<0,而
SKIPIF1<0；
(3)SKIPIF1<0,
SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).
(4)所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.
近似计算:SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0；
SKIPIF1<0.
公式：SKIPIF1<0
取SKIPIF1<0等不同的值可以得到相应的公式.
SKI