清华在线2009新版GCT精讲班数学微积分讲义.docx

GCT数学.微积分部分
主讲：刘庆华
第11章函数的极限与连续
11.1函数
一函数
1定义设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个变量，SKIPIF1<0是给定的数集，如果对于每个数SKIPIF1<0，变量SKIPIF1<0按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的函数，记作SKIPIF1<0，数集SKIPIF1<0叫做这个函数的定义域，SKIPIF1<0叫做自变量，SKIPIF1<0叫做因变量。
2表示法
3基本初等函数

例11．1．1（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。
（4）设SKIPIF1<0是任一实数，SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数部分。
例11.1.2下列函数是否相同？
（1）SKIPIF1<0；（否）
（2）SKIPIF1<0；（是）
（3）SKIPIF1<0。（否）
例11.1.3求函数的定义域。
（1）SKIPIF1<0；答SKIPIF1<0
（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定义域.SKIPIF1<0
二特性
1函数的有界性
设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有定义，如果SKIPIF1<0，使得对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有界，否则，称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无界。
2函数的单调性
设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有定义,如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0（或
SKIPIF1<0）则称SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是单调增（或单调减）的。
3函数的奇偶性
设函数SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0关于原点对称，（即若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则必有SKIPIF1<0SKIPIF1<0），如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0为偶函数，如果SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0为奇函数。
4函数的周期性
设函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0常数SKIPIF1<0，使得对SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且
SKIPIF1<0恒成立，则称函数SKIPIF1<0是周期函数，使上式成立的最小正数SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的周期。
例11.1.4判断函数的奇偶性。
（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0。
[（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶]
三函数的运算
1四则运算
2反函数
3复合函数与初等函数
（1）复合函数
设SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，称
SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的复合函数，它是由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0复合而成的函数，它的定义域为SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为中间变量。
（2）初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。
例11．1．5（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。
（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）
（2）求SKIPIF1<0的反函数。（SKIPIF1<0）
例11．1．6设函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图形关于直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数。
四补充题
例