正态分布和线性回归.docx

专题：正态分布和线性回归
基础知识回顾
1.正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象
其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值,为正态分布的平均值；是正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数,唯一确定，记作~,E()=,D()=.
2.函数f(x)图象被称为正态曲线．
(1)从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值。(2)从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的,(3)当μ的值一定时,σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．

3.把~即μ=0,σ=1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体,其密度函数为，x∈(-∞，+∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．
４.利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.
(1)对于标准正态总体，是总体取值小于的概率，即：，其中，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于的概率．
(2)标准正态曲线关于y轴对称。因为当时，；
而当时，根据正态曲线的性质可得：，并且可以求得在任一区间内取值的概率：,显然Φ(0)=0.5.
5.对于任一正态总体~,都可以通过使之标准化~,那么,
P()=P(<)=，求得其在某一区间内取值的概率.
例如:N(1,4),那么,设=,则~,有P(<3)=P(<1)==0.8413.
6.Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987

二、例题
1.下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
（1），（-∞＜x＜+∞
（2），（-∞＜x＜+∞
（3），（-∞＜x＜+∞
2.正态总体的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞)（1）求f（x）的最大值；
（2）利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．
3.利用标准正态分布表(Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987)求标准正态总体在下面区间取值的概率．
（1）（0，1）；
（2）（1，3）；
（3）（-1，2）．
４.利用标准正态分布表((Φ(1)=0.8413、Φ(1.84)=0.9671)，求正态总体在下面区间取值的概率．
（1）在N(1,4)下，求F(3)
（2）在下，求P(μ-1.84σ<X<μ+1.84σ)

*５.对于正态总体取值的概率：
（１）(μ-σ，μ+σ）：
（２）(μ-2σ，μ+2σ）：
（３）(μ-3σ，μ+3σ）：
取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%。因此我们时常只在区间(μ-3σ，μ+3σ)内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分,这一部分情况发生为小概率事件。
6.下列关于正态曲线性质的叙述正确的是
(1)曲线关于直线x=μ对称,这个曲线只在x轴上方；
(2)曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ，3σ)时才在x轴上方；
(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
(4)曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；
(6)σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．（）
(A)只有(１)(４)(５)(６)(B)只有(2)(４)(５)
(C)只有(3)(４)(５)(６)(D)只有(１)(５)(６)
7.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一个新的曲线b,下列说法不正确的是
(A)曲线b仍然是正态曲线(B)曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等
(C)以曲线a为概率密度曲线的总体的方差比以曲线b为概率密度曲线的总体的方差大2
(D)以曲线a为概率密度曲线的总体的期望比以曲线b为概率密度曲线的总体的期望小2
8.在正态总体Ｎ(0，)中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)里的概率为
（A）0.097（B）０.046(C)0.03(D)0.003

9.设随机变量ζ～N(2,4),则D()等于
(A)1(B)2(C)0.5(D)4
10.设随机变量ζ～Ｎ(μ,σ２),且P(ζ≤C)=P(ζ＞C),则C等于()
(A)0(B)μ(C)-μ(D)σ
11.正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别是
(A)0和8(B)0和4(C)0和2(D)0和
12.填空题
(1)若随机变量ζ～N(1,0.25),则2ζ的概率密度函数为.
(2)期望为2,方差为的正态分布的密度函数是.
(3)已知正态总体落在区间(0.2,+∞)的概率是0.5，则相应的正态曲线f(