数值逼近 数值积分.docx

第五章数值积分
1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。
证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。结论成立。
2.证明柯特斯系数满足。
证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。
3.证明柯特斯系数满足方程组：

证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：
或，写成矩阵形式即为：

4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。
证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。再由：

和得：。
同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。证毕
5.假设在上连续，。证明：存在成立
证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。又若令，则由得：。故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。
6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？
解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
7.函数由表14给出，利用复化梯形公式按如下的尺度，计算：（1）（2）（3）
解：（1）时，=1.7683
(2)时，=1.7728(3)时，
8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。
解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。证毕。
9．分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算下列积分：（1），
解：（1）令，则：

（2），；
（3），；
（4），。
10．假设在上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时，收敛于积分值。
证明：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得：；在每个小区间上采用辛卜生公式得：
11。11.11111.证明等式：，并用理查森外推法计算的近似值。
证明：由于当时，，令得：，即：若令，并记，则上式成为：，因此该公式符合理查森外推法的条件，若记由外推算法：，，并取（即）得：
3.1045694993.1391475693.1414527733.1414377153.1415903913.141592675与相比，有8位有效数字。
12．用龙贝格算法求积分直到第五位小数不变。
0.75000000000.70833333330.69444444440.69702380950.69325396830.69317460320.69412185040.69315453070.69314790150.6931474776解：

积分的精确值为=0.6931471860。
13．假定在上有二阶连续导数，求证
，
证明：因在上有二阶连续导数，则：，两边积分得：，因在上连续，故存在，使，即：。证毕
14．给定求积公式，试决定求积系数，使之代数精确度尽可能高。
解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：，解之得：，由于当时，求积公式仍精确成立，但当时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。
15．寻求如下的高斯型求积公式：
解：由于求积公式是高斯型的，故对单项式精确成立，于是得到如下的关于的方程组：
，
令，并由、分别得：解之得：，因此是一元二次方程：的解：，，再由（1）、（2）解得：，即：
16．利用（52）式推导当时的三角辛卜生公式。
解：令：，，由
其中：

可得当时的三角辛卜生公式：

17．适当处理下列定积分，并选择合适的方法计算其近似值：
（1）
解：因为：，可以利用高斯-第二类契比雪夫求积公式，于是取得：所以：
（2）
解：这是振荡积分，利用三角梯形公式（53）得：
（3）
解：由于：，可以利用高斯-第一类契比雪夫求积公式：，于是取得（其中）：，所以。
（4）
解：作积分变换：，得：，于是可以利用高斯-拉盖尔求积公式（其中）：，于是取得：
（5）
解：由于：，于是可以利用高斯-埃米特求积公式（其中）：，于是取得：
（6）
解：利用积分变换：于是可以利用三点高斯-勒让德求积公式（其中）得：
18．试导出三重积分的梯形公式和辛卜生公式。
解：设，则三重积分的梯形公式和辛卜生公式分别为：
20．用分离变量法以及辛卜生公式计算积分并比较计算结果与准确值之间的关系
解：令：，则是一个二次多项式，故对使用辛卜生公式精确成立，且对使用辛卜生公式也精确成立，因此使用分离变量法以及辛卜生公式计算积分是精确的。事实上，使用辛卜生公式计算时：
，，，
故：，与精确计算是相同的。