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无穷限广义积分的计算
陈雪静
（宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013）
摘要:文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.
关键词:广义积分;收敛;计算方法
广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.
1无穷限广义积分的定义
定义1设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续,取SKIPIF1<0.如果极限
SKIPIF1<0
存在,则称此极限为函数SKIPIF1<0在无穷区间SKIPIF1<0上的反常积分（也称作广义积分）,记作SKIPIF1<0,即
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;
这时也称反常积分SKIPIF1<0收敛;如果上述极限不存在,函数SKIPIF1<0在无穷区间SKIPIF1<0上的反常积分SKIPIF1<0就没有意义,习惯上称为反常积分SKIPIF1<0发散,这时记号SKIPIF1<0不再表示数值了.
类似地,设函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上连续,取SKIPIF1<0.如果极限
SKIPIF1<0
存在,则称此极限为函数SKIPIF1<0在无穷区间SKIPIF1<0上的反常积分,记作SKIPIF1<0,即
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;
这时也称反常积分SKIPIF1<0收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分SKIPIF1<0发散.
设函数SKIPIF1<0在无穷区间SKIPIF1<0内连续,如果广义积分
SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）
都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数SKIPIF1<0在无穷区间SKIPIF1<0内的广义积分,记作SKIPIF1<0,即
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0
这时也称广义积分SKIPIF1<0收敛;否则就称反常积分SKIPIF1<0发散.
上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.
2无穷限广义积分的计算方法
2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分
由定义计算可以分两步:
1求定积分SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.需要说明的是原函数SKIPIF1<0均指有限形式.
2取极限SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.
例1［1］计算SKIPIF1<0
解=SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分
含参量积分:
SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）
SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）统称为欧拉积分.
其中SKIPIF1<0称为格马函数.SKIPIF1<0称为贝塔函数.且有递推公式
SKIPIF1<0及SKIPIF1<0.
因此在计算广义积分时看所给广义积分当SKIPIF1<0为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.
例2［5］求SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数）
解此广义积分与表达式相似,因此可用SKIPIF1<0函数法求解.
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0
=SKIPIF