曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面.docx

第二章曲面论

第十三节曲面上法曲率的
最大值、最小值、
高斯曲率、平均曲率、极小曲面

根据法曲率的几何意义,法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向,因此,理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化.但实际上是做不到的,因为曲面在一点处有无穷多个切方向.于是我们自然提出这样两个问题:法曲率随方向变化的变化规律是什么?法曲率是否有最大值和最小值?下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是:由Euler公式给处了曲面上一点沿各个方向,法曲率的变化规律,而且法曲率有最大值和最小值,它们被称为主曲率,最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.

法曲率的最大值、最小值
曲面SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0沿一方向SKIPIF1<0上的法曲率SKIPIF1<0为
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0，（1）
我们考虑法曲率SKIPIF1<0的最大值、最小值问题。

设SKIPIF1<0，则有
SKIPIF1<0，
这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。
SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，
此二次方程有根，当且仅当
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0。

设SKIPIF1<0SKIPIF1<0是方程
SKIPIF1<0，（2）
的两个根，
则有SKIPIF1<0，
于是SKIPIF1<0的最大值、最小值分别为
SKIPIF1<0，且由方程（2）所解出。
由韦达定理，便得

SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0。
将SKIPIF1<0代入
SKIPIF1<0，
解出两个根SKIPIF1<0，就得到使SKIPIF1<0达到最大值、最小值的方向。

对曲面SKIPIF1<0上一给定点SKIPIF1<0,法曲率SKIPIF1<0是切方向SKIPIF1<0的函数,称法曲率的每个临界值(criticalvalue)为曲面在这一点的主曲率;对应的方向称为曲面在这一点的主方向.

二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率

设SKIPIF1<0分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积SKIPIF1<0称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度,又称为总曲率或全曲率；
它们的平均数SKIPIF1<0称为曲面在这一点的平均曲率，通常以SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度,又称为中曲率。
由方程（2）及韦达定理，便得
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0。
SKIPIF1<0。
计算高斯(Gauss)曲率、
平均曲率的例题

设SKIPIF1<0是半径为SKIPIF1<0的球面，
由于SKIPIF1<0，
所以球面的高斯曲率SKIPIF1<0，
平均曲率SKIPIF1<0。

求正螺面SKIPIF1<0
的主曲率,总曲率和全曲率.
【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，

由此便知正螺面上所有点都非脐点,于是其上每点处都有两
个不相等的主曲率.将基本量代入法曲率的计算公式,得到
SKIPIF1<0，
由于SKIPIF1<0，
所以，有SKIPIF1<0，
于是正螺面的主曲率k1;k2,总曲率K和平均曲率H分别为

SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0。

设SKIPIF1<0是一条空间正则曲线,SKIPIF1<0是自然参数，其切线构成的曲面为SKIPIF1<0，
其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的单位切向量.求SKIPIF1<0的Gauss曲率.

【解】记曲线C的曲率和挠率分别为SKIPIF1<0，
基本向量为SKIPIF1<0。
则SKIPIF1<0，

于是
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
进一步计算得到
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0；
所以
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0
因此曲面S的Gauss曲率为
SKIPIF1<0。

例1、求曲面
SKIPIF1<0：SKIPIF1<0
的高斯曲率、平均曲率。
解我们已经得出
第一类基本量为
SKIPI