平方差和完全平方公式教学与拓展.docx

第一章整式的乘除
一、平方差公式
教学目标
平方差公式的特征
平方差公式
利用平方差公式简便计算
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？

计算下列各题：
(1)；(2)；
(3)；(4).
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
再举两例验证你的发现.

1、平方差公式：
（1）平方差公式的推导：
（2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
（3）符号语言：.
例1利用平方差公式计算：
（1）；（2）；（3）.

（4）面积表示：

例2如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
b

2、公式变形:

相同为a

相反为b

合理加括号

注：（1）这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等；
（2）逆运算也是成立的.
例3利用平方差公式计算：
（1）.（2）；

（3）（4）

例4利用平方差公式计算：
（1）
（2）
（3）
（4）

3、利用平方差公式简便计算
79×81=
80×80=
11×13=
12×12=
7×9=
8×8=
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?
例5用平方差公式进行计算：
(1)103×97；(2)118×122.

例6运用平方差公式计算：
(1)2014×2016－20152；(2)1.03×0.97；

(3).

拓展提高
1．计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（+1）+1（n是正整数）；

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－．

3.已知，求的值．

4.计算：．

5.求值：．

6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．

（1）利用平方差公式计算：．

（2）利用平方差公式计算：．

7．解方程：．

8．（规律探究题）已知，计算，，
．
（1）观察以上各式并猜想：______．（为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①______．
②______（为正整数）．
③_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①=．
②=．
③=．
④=.
完全平方公式
教学目标
完全平方公式的特征
完全平方公式
完全平方公式的应用及逆应用

引入
计算下列各式，你能发现什么规律？
.
=.
(3).
(4)=.
根据规律，直接写出下列下列两式子的结果，并用多项式乘多项式运算法则进行验算.
=.
=.
完全平方公式
（1）文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
（2）数学表达式：
首平方，尾平方，积的2倍在中央

注：公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例1利用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）.

例2利运用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）

（3）面积表示法

例3如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为()

D．

例4、利用完全平方公式计算：
（1）；（2）.

（3）（4）

（5）（6）

3、完全平方式的应用
若是完全平方式，则=
若是一个完全平方式，那么是
如果是一个完全平方式，则=
如果是一个完全平方式，那么=
（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：
①当a=3，b=2时，a2+b22ab，
②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b22ab，
③当a=1，b=﹣2是，a2+b22ab．
（2）猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？并证明你的结论．

4、公式的逆用
1．（2－）2＝－4＋2．
2．（3＋_______）2＝_______＋12＋________．
3．－＋________＝（－______）2．
4．－________＋＝（________＋9）2．
5．代数式等于-（）2

拓展提升
5、完全平方式常见的变形有:
（1），
（2），
（3），
（4）

例．已知求与的值。

练习
1．已知求与的值。

已知求与的值。

已知，，求及的值

已知，求的值。

已知2a－b＝5，ab＝，求4a2＋b2－1的值．

已知，求的值。