平面连杆摆动机构问题.docx

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训练三

平面连杆摆动机构问题

姓名陈诚张勇晏磊学号
摘要

本文通过对一组摆杆滑块机构的相关问题进行分析，探讨在不同假设情况下摆动机构中各个构件的运动学特性，通过建立数学模型，主要解决以下几个问题：
1、滑块的位移与曲柄摇杆OQ的摆角的函数关系；
2、曲柄摇杆OQ的摆角的变化范围；
3、滑块的行程（即滑动的最大距离）；

4、讨论滑块的运动学特性。

在前三个问题中，我们推导出了三种假设情况下对应的不同的结果，在模型的求解过程中，我们运用C++语言进行编程调试（见附录〈一〉）；
在第四个问题中，在前三个问题的基础之上，我们探讨了影响滑块P的运动速度的关键因素，并推导出具体的数学公式。在模型的求解过程中，通过数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序（见附录〈二〉），并用几何画板描绘图像，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。

论文的最后引申推广到现实生活中存在的物理机械模型——“牛头刨床”，因为本文中的模型实际上是通过曲柄摇杆的转动，带动滑块的滑动的过程，这在实际生活中，很类似于牛头刨床的工作原理。

关键词:曲柄摇杆滑块机构位移极值点摆角变化范围运动学特性
正文部分

一、问题的重述及简要分析

问题的重述：
某种平面连杆摆动机构的结构和某时刻的位置如图1所示，摆杆OQ绕O点摆动，通过连杆PQ带动滑块P水平往复运动，设摆杆长OQ＝r，连杆长PQ＝l，摆角中心O到滑轨O’P的距离为h，且r<h<l+r.
根据这个摆动机构使用的一般要求，作出适当的假设，解决以下问题：
1）P的位移x与摆角的函数关系；
2）摆角的变化范围；
3）滑块P的行程（即滑动的最大距离）；
4）讨论滑块P运动速度的均匀性。

图1

简要分析：
上述模型是典型的曲柄摇杆摆动机构的模型，主要是通过两杆（曲柄摇杆）的转动带动滑块的水平移动，而我们就是要在一定的假设条件下，研究该机构中各个构件的运动学特性。我们下面对此模型作出必要的假设，从而对此进行分析求解。

二、问题的假设与模型的建立求解
提出假设
在建立模型求解之前，为了方便问题的讨论，我们做出下述假设：
1：滑块在运动过程中不受摩擦力作用；
2：系统在转轴点和曲柄连接处无摩擦；
3：不考虑OQ和QP两杆的重力；
4：两杆OQ与QP在运动过程中不会阻碍彼此相互运动（如：当l-r≥h时，两杆运动到同一直线上时不会发生摩擦。）

建立模型并求解
（1）的位移与摆角的函数关系；

h
O’
Q
P
x
l
r
O
β
θ
图（1）

如图（1）所示，规定滑块的位移向左为正，并设点处的位移，机构的约束方程为：
.
消去参数可得关于的函数关系为：
.

（2）摆角的变化范围；
（3）滑块的行程（即滑动的最大距离）；
（为了求解的需要，上述两题放在一起求解）

P
h
O’
Q
x
l
r
O
图（2）

P

l
r
Q

如图（2）所示，当垂直于轴时，滑块运动至最右端，此时的摆角应为最小值，由几何关系可得：
.
而滑块的最小位移出现在与在一条直线上时：
.

h
O’
Q
P
x
l
r
O

图（3）
P

l
r
Q

由摆杆的摆动关于法线对称，如图（3），则由对称性，最大摆角应为：
.
而滑块的最大位移出现在与在一条直线上时：
.
所以摆角的变化范围为：
.
滑块的行程区间为：
.
所以滑块的行程为：

对模型的近一步探讨
1、当时：
杆OQ与OP会运动至最低点，此时两杆重合，滑块在惯性的作用下会向右运动，从而OQ会转动360度。这时摆角可以取任意值，P的行程区间为

备注：
如转动至最低点后又沿原路返回，或者在最低点静止不动了，则滑块P只会在坐标轴OO’的左平面内运动。
但这两种情况在理想化模型应该不会出现，因为我们假设在没有摩擦力的情况下，惯性会使滑块向右运动。

2、当时：
此时滑块只能在负半轴或正半轴部分做往复运动。下面我们以负半轴为例讨论（正半轴情况同理）
杆OQ与QP在向右转动的过程中，当转动到图示位置（见下图）时，滑块在A处达到最小位移为

然后在杆的作用下，滑块会反向运动，从而到达B点，即杆OQ与QP成一条直线处，此处对应于滑块的最大位移

h
O’
Q
P
x
l
r
O
图（4）
P
l
r
Q
A
B

（4）讨论滑块P运动速度的均匀性
在前面第（1）问中，我们已经讨论得出

因此，我们对关于求导，可得

（这里，为了便于后面的讨论，我们设此结果为k,显然k不是常数），从而

〈一〉﹑首先，我们从最简单的情况考虑：
假设杆OQ匀速转动，则有（即角速度）,其中c为常数，此时，与t是线性函数关系，我们假设
从上述解析式可以看出，v的变化完全依赖于的变化而变化，我们利用几何画板软