北京通州区高三上学期年末考试数学理.docx

北京通州区2019高三上学期年末考试-数学理
数学（理）试卷
2018年1月
本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至，第II卷第3至，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
2．在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
3．已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
4．设函数则
（A） （B）
（C） （D）
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
5．一个几何体的三视图如下图，该几何
体的表面积是
（A）
（B）
（C）
（D）

开始
k=1，S=0
k≥50
S=S+2k
输出S
k=k+1
结束
是
否
6．执行如下图的程序框图，输出的值为
（A）
（B）
（C）
（D）

7．在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
9．如图，已知，，，
则圆的半径OC的长为．
10．已知满足约束条件则的最大值为．
11．若，则的最小值为．
12．在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是．
13．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且
，则实数的取值范围是．
14．对任意两个实数，定义若，
，则的最小值为．
三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在的最大值和最小值．
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：
CN//平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．
17．（本小题满分13分）
2124
431111025
71089

甲乙
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．

18.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．

19.（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．

20.（本小题满分13分）
现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．
记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．

通州区2018—2018学年度第一学期期末试卷答案
高三数学（理科）2018.1
第Ⅰ卷（选择题共40分）
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D B B A B
填空题
9．10．11．
12．13．14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由已知，得
……………………2分
，……………………4分
所以，
即的最小正周期为；……………………6分
（Ⅱ）因为，所以．………………7分
于是，当时，即时，取得最大值；……10分
当时，即时，取得最小值．……………13分

16．证明：
（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以CC1⊥BC．……………………1分
因为AC=BC=2，，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．……………………2分
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．……………………3分
因为AM平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．……………………4分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则
NP∥CC1，且∽．……………5分
于是有．
由已知，有．
因为BB1=CC1．
所以NP=C