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基于小波变换的去噪
摘要：本文说明小波变换的基本原理，实现小波分解与重构的算法以及利用小波变换去除信号噪声的方法和原理，并在环境下进行了仿真。
关键词：小波变换；多分辨分析；算法；消噪；
1.引言
由于信号在产生、传输和检测过程中，不可避免地会受到不同程度噪声的影响，特别是小信号，干扰显得尤为明显，因此在信号处理过程中，最重要的就是消除信号中的噪声。对此，傅立叶分析是一种经典方法，但其无法同时描述和定位信号在时间和频率上的突变部，而小波变换具有多分辨率的特点，能表征信号局部特征，因此在信号处理中有着重要的应用。
本文主要介绍小波变换理论和去噪原理及方法，并通过MATLAB仿真实现信号噪声消除。
2.小波变换
记，总假设是能量有限的，即。通过对作平移，伸缩可以得到一族小波函数，其中称为尺度因子或伸缩因子，称为平移因子，

所以小波函数又被称作为母小波。这族函数中每一个都有规范化的函数。
设，则的连续小波变换定义为与的内积

从中可以看出小波变换也是一种积分变换，它将单变量的函数变换成时频平面上的二元函数。从时频分析来看，小波变换将信号的每个瞬态分量映射到时频平面上的位置正好对应于分量的频率和发生的时间，而函数在处的值反映了在时刻频率为
的分量的有关信息。由到原始信号，称为逆变换或重构。

其中
其中为的傅立叶变换
由重构公式可知，可由它的小波变换精确重构，它可以看成将按“基”的展开或分解，系数就是小波变换。
实际应用中要对小波函数中参数离散化，取，，，得到小波函数

的离散小波变换定义为与的内积

离散小波变换是将时间函数变换到位移-尺度相平面上的离散点处。当是的基时，能够以数值稳定的方法重构

在正交的条件下，。
多分辨率分析
多分辨分析方法是构造小波基的一种方法。它的主要思想是将按分辨率为分解为一串嵌套子空间序列，再通过正交补的塔式分解，将分解成一串正交小波子空间序列。然后将中的函数表示成一系列近似函数的逼近，其中每一近似函数都是在不同分辨率子空间上的投影，通过这些投影来研究和分析在不同子空间上的性态及特征。如果中的空间序列满足以下条件，称为一个正交多分辨分析
单调性：

逼近性：

伸缩性：

平移不变性：

存在函数，使得构成的规范正交基。其中称为多分辨分析的尺度函数或父函数。
由单调性可知，是的真子空间，所以，在空间基是正交的意义下，可以认为，是由和在中的正交补空间记为构成的。对做进一步的分解可得：

其中表示正交和，并且。
因此，我们得到是由的两个空间序列，一个是嵌套的闭子空间序列，称为尺度空间，另一个是相互正交的子空间序列，称为小波空间。即：

令分别为尺度空间和小波空间的规范正交基。根据前面空间的分解关系对信号分解有：

其中

第一项表示中频率不超过的成分，第二项表示频率在到之间的细节成分。
算法
正交小波变换的快速算法，即算法。
双尺度方程：

其中所起的作用类似于滤波器。
由于，，因此任一，可以用基表示，又可以用基来表示：

因为，所以由上式可得

而

由双尺度方程有

代入上式

从而有

同理有

上面两式即是快速分解算法。从中可以看出，只要知道滤波器和，由初始序列，就可以算出所有尺度系数和小波系数，通常取。其过程如下图所示

图4.1分解算法示意图
由上面的逆过程容易得到重构公式为

图4.2重构算法示意图
5.小波去噪的基本原理和方法
运用小波分析进行信号噪声消除是小波分析的主要应用之一。实际中所观测到的信号通常是非平稳信号，且带有白噪声

其中为原始信号，为白噪声。在实际工程中，有用信号通常表现为低频信号或较平稳的信号，噪声信号则表现为高频信号，所以消噪过程可按以下方法进行。
首先对信号进行小波分解，选择小波并确定分解层次，噪声部分通常包含在高频中。然后对小波分解的高频系数进行门限阈值量化处理。最后根据处理后得到的小波系数重构原信号，达到消除噪声的目的。
仿真
仿真结果：

图1信号分解与重构

图2一次分解的低频和高频分量

图3有噪信号处理

图4小波分析与傅立叶分析
从图1中可以看到，重构后的信号与原始信号大致相同。同时，由于信号的长度是有限的，在边界点上不可避免地出现了误差。从图3中不难看出，对收到噪声污染的信号做小波变换并进行阈值处理后，噪声得到了有效的抑制。此外，对于非平稳信号的处理，小波变换相对于传统的傅立叶分析具有优势。因为傅立叶分析是将信号变换到频域中进行处理，不能给出信号在某个时间点的变化情况，而小波分析由于能同时在时-频域中对信号进行分析，所以它能有效区别信号中的突变和噪声。从图4中可以看出，用小波进行消噪可以很好地保留信号中的尖峰和突变。而傅立叶分析不能将信号中的高频成分和由噪声引起的高频干扰有效区分。
结语
小波变换是一种信号的时频分析方法，小波基函数具有快速衰