哈工大考研量子力学试题.docx

2.2.32008年真题

【题目】1.轨道角动量的三个分量，和是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么

【解题】
没有，不对易，故无共同本征态

【分析】本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

【题目】2.已知哈密顿量的本征值为，相应的本征函数为，求的本征值和本征函数（C为常数）。

【解题】

由上式知，的本征函数为，本征值为

【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果

【题目】3.计算对易关系

【解题】
（1）

（2）

【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果

【题目】4.利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。

【解题】

对线性谐振子

利用
有

【分析】了解一个力学量的差方平均值等于该力学量算符平方的平均值与平均值平方之差，再利用两算符满足的对易关系，通过不等式得出最小的线性谐振子能量即为它的基态能量。

【题目】5.设A和B为两个厄米算符，。证明：在A或B的本征态中，算符C的平均值为零。

【解题】
设
由于、都为厄米算符有：
那么：

同理，对的本征态也有相同的结果
所以在A或B的本征态中，算符C的平均值为零。

【分析】可以设出算符A或者B的本征态，并且利用厄米算符的性质，直接利用算符C的平均值表达式证明出结果。

【题目】6.证明：对于一维定态薛定谔方程，与任一能量本征值相应的线性独立解最多只有两个（即任何能及的简并度最大为2）。

【解题】
用反证法证明：
假设对应于能量本征值存在三个线性独立的本征波函数、和，则有：

用乘以第一式，减去乘以第二式，有

得出
令，则上式可化为：
积分后即
于是得到
上式表明是和的线性组合，显然这与、和相互独立的假设是矛盾的。

【分析】井孝功老师的教材上有原题，主要考察定理证明过程，此部分应当引起重视，考试中出现的次数相对较多。

【题目】二．一质量为的例子在一维无限深势井中运动t=0时，其归一化的波函数为求：（1）t>0时，粒子的状态波函数；（2）t=0及t=t0时系统的平均能量；（3）t=0及t=t0时，在的区域内发现粒子的概率。

【解题】
（1）

其中

（2）t=0及t=t0时系统的平均能量为

（3）当t=0时

当t=t0时

【分析】先将题中的波函数向哈密顿算符的几个本征函数（这些本征函数的形式最好记住，能节省时间）作展开，再乘以相关的时间因子就得到了任意时刻的粒子状态波函数；系统的平均能量直接用能量值乘以它出现的概率再相加就可得到；在什么区域发现粒子的概率直接将波函数的平方积分，此题中的积分变量为坐标，注意积分上下限。

【题目】三．已知l=1时，的本征函数在坐标表象中用球函数表示为，写出l=1时，和的全部本征函数。

【解题】
自身表象下为对角矩阵，可表示为
相应的本征解为

即
对于算符、而言，需要用到升降算符，即

而

当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，

只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即

于是得到算符、的矩阵形式如下

满足的本征方程为

相应的久期方程为

将其化为

得到三个本征值分别为

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

满足的本征方程为

相应的久期方程为

将其化为

得到三个本征值分别为

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

【分析】本题可在坐标表象中用矩阵求解，利用与球谐函数的关系写出它的矩阵形式，注意三个本征函数的相关顺序（因为顺序的不同也会导致矩阵的形式发生变化，一定要注意这点），然后利用升降算符对三个本征函数的作用求出与的矩阵形式，再通过久期方程得到它们各自的本征值和本征函数。

【题目】四．某力学量的算符A有两个归一化的本征函数和，相应的本征值分别为和；另一力学量的算符B也有两个归一化的本征函数和，相应的本征值分别为和，已知：
在某种状态下，测量力学量A后得到的结果为；若在此之后在测量力学量B，接着在测量力学量A,则第二次测量A得到的结果仍为的概率是多少？

【解题】
在某种状态下，测量力学量A后得的结果为时，波函数为

由可知：

所以第二次测量A结果仍为的概率为

【分析】此题主要看考生能否分析出每次测量后它的态函数发生了什么样的变化，倘若知道它以后的状态那么问题就迎刃而解了，我们可以这样判定，只要测量某个力学量，那么波函数就往这个力学量的本征状态坍塌，此时若要求其它力学量的某个值的概