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6-SPS与6-PSS并联机构的运动与受力分析
与传统的串联机构相比，并联机构的运动与受力分析具有反解容易而正解复杂的特点。为了解并联机构的这些特点，本文针对6-SPS和6-PSS两种6自由度并联机构的运动和受力特性进行了简单推导，得出一些关于求解矩阵的有趣结论。
1、6-SPS推导过程
6-SPS并联机构又称Stewart平台，由上平台、下平台以及连接上下平台的6个支撑杆组成，支撑杆与平台通过球铰连接，支撑杆本身又能够通过液压驱动改变长度，进而驱动上平台的运动，如图1所示。

图16-SPS并联机构平台
1.1运动分析
首先对该并联机构进行自由度计算，下平台固定，活动构件数目，球铰个数，移动副个数，在每个支撑杆移动副上有一个绕轴转动的局部自由度，则局部自由度的总数为。根据空间机构自由度的计算公式可得：

在驱动上平台运动时，6个支撑杆的输入速度分别为，上平台的运动形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度和转动角速度，输入速度和平台速度之间有什么运算关系呢？

图26-SPS并联机构速度分析
如图2所示，取上平台的转动中心为，支撑杆1与上平台的铰接处取为，中心到铰接点的向径为，则上平台位于点处的速度可表示为：

设支撑杆1的方向向量为，向支撑杆1投影可得：

支撑杆1的输入速度沿杆长方向，则向支撑杆1的投影即为，从而可得：

同理可求得其余支撑杆的速度表达式分别为：

......

将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：

即：

记，则上式可简写为：
(1)
式(1)即为6-SPS并联机构支撑杆输入速度与上平台输出速度的计算关系式。
1.2受力分析
设支撑杆1的驱动力为，对上平台产生的的驱动力矩为：

图36-SPS并联机构速度分析
如图3所示，相应地，支撑杆2～6的驱动力和驱动力矩分别为，设上平台的负载力和负载力矩为，根据力螺旋理论可写出以下平衡式：

即：
提出各驱动力的数值大小，可得：
写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式：

进一步简写为：
(2)
式(2)为6-SPS并联机构支撑杆输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。
比较式(1)和式(2)，可以发现两者具有相同的计算形式，即系数矩阵分别为矩阵的逆矩阵和转置矩阵，这说明了6-SPS并联机构平台的速度解算和力与力矩解算具有一定的联系，这一结论可以为其他形式的6自由度并联机构解算起到参考作用。
2、6-PSS推导过程
6-PSS并联机构是对Stewart平台的一种变形，将支撑杆中的移动副放到下端与下平台的连接处，移动副与杆通过球铰连接，即形成杆长不变的PSS支撑结构，通过改变移动副的位置来驱动上平台实现不同的姿态，如下图所示。

图46-PSS并联机构平台
2.1运动分析
首先进行自由度计算，作为下平台的6个滑块可沿导轨移动，形成移动副。活动构件数目，球铰个数，移动副个数。每个支撑杆与滑块的铰接处，支撑杆相对滑块有一个绕杆轴线转动的局部自由度，故局部自由度总数为。根据空间机构自由度的计算公式可得：

该机构有6个自由度，因此每个滑块都要进行驱动，才能保证机构有确定的运动。6个滑块的输入速度分别为，上平台的运动形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度和转动角速度，输入速度和平台速度之间的运算关系推导如下。

图56-PSS并联机构速度分析
如图5所示，上平台与支撑杆1铰接处点的速度可表示为：
(3)
设支撑杆1的方向向量为，滑块1运动的方向向量为。根据支撑杆1长度不变的特点可知，球铰处速度和滑块1的速度在杆1上的投影相等，即：

将式(3)代入上式，可得：

整理可得：

同理可求得其余滑块输入速度的表达式如下：

......

将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得：

即：

记，则上式可简写为：
(4)
式(4)即为6-PSS并联机构驱动滑块输入速度与上平台输出速度的计算关系式。
2.2受力分析

图66-PSS并联机构受力分析
设滑块1的驱动力为，支撑杆1为二力杆，对上平台球铰A处的作用力为。为推导出与的关系，隔离球铰B进行分析。

图7球铰B受力分析
如图7所示，球铰B平衡时，可得到下列关系：

可解出的数值大小为：
(5)
支撑力对上平台产生转矩，同理可得其余各杆支撑力与力矩。由力螺旋理论可写出以下平衡式：

即：提出各支撑杆力的数值大小，可得：

代入式(5)表示的各支撑杆力，可得由滑块驱动力表示的平衡式：

写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式：

上式可进一步简写为：
(6)
式(6)为6-PSS并联机构各滑块输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。
对比式(4)与式(6)可以发现与式(1)和式(2)相同的计算规律，即上平台输出速度与滑块输入速度以矩阵的逆矩阵为计算系数，上平台负载力和力矩与