高考数学 考点 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质（理）-人教版高三全册数学试题.docx

考点8.4直线、平面垂直的判定与性质
考点梳理

1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．
真题演练

1．（2017•新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：连，由题意得，
平面，且平面，
，
，
平面，
平面，
．
故选．
法二：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，0，，，1，，，2，，，0，，，2，，，0，，，2，，
，1，，，2，，，，，
，0，，，2，，
，，，，
．
故选．

2．（2016•浙江）已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，
或或与相交，，
，
．
故选．
3．（2019•北京）已知，是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①；②；③．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】若，，则．（或若，，则
【解析】由，是平面外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：
若，，则．
若，，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得，
若，，则
故答案为：若，，则．（或若，，则．
4．（2019•江苏）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证：
（1）平面；
（2）．

【解析】（1）在直三棱柱中，，分别为，的中点，
，，，
平面，平面，
平面．
解：（2）在直三棱柱中，是的中点，．
，
直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，
平面，．

5．（2017•江苏）如图，在三棱锥中，，，平面平面，点、与、不重合）分别在棱，上，且．求证：
（1）平面；
（2）．

【解析】（1），，且、、、四点共面，
，又平面，平面，
平面；
（2）在线段上取点，连结、使得，则，
，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
，且，
平面，平面，，
，．

6．（2020•江苏）在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

【解析】（1），分别是，的中点．
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因