数学模型-层次分析法的基本步骤.ppt

表示，如果大石头为单位重量，则有
显然，A的各个列向量与w仅相差一个比例因子。
一般地，如果一个正互反阵A满足
aij·ajk=aik,i,j,k=1,2,…，n(4)
则A称为一致性距阵，简称一致阵。（3）式给出的A显然是一致阵。容易证明n阶一致阵A有下列性质。
1、A的秩为1，A的唯一非零特征根为n;
2、A的任一列(行)向量都是对应于特征根n的特征值。2、心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力，最多达之7±2范围。如以9个为限，用1-9尺度表示它们之间的差别正合适。
3、Saaty曾用1-3，1-5，…，1-17，（d+0.1）-（d+0.9)(d=1,2,3,4),1p-9p(p=2,3,4,5)等共27中比较尺度，对在不同距离出判断某光源的亮度等实例构造成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的实际的权向量进行对比发现，1-9尺度不仅在简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。根据上述定理和λ连续地依赖于aij的事实可知λ比n大得多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度,Saaty将为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准。Saaty又引入了所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地构造正互反阵A/(它的元素aij/（i<j)从1-9,1-1/9中取随机值，aji/为aij/的互反数，aii/=1),然后计算A/的一致性指标CI。可以想象到，A/是非常不一致的，它的CI相当大。如此构造相当多的A/,用他们的CI的平均值作为随机一致性指标。Saaty对于不同的n（=1~11),用100-500个样本A/算出的随机一致性指标RI的数值如下。表9-2随机一致性指标RI的数值时认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。否则要重新进行成对比较，对A加以调整。顺便指出，（7）式中0.1的选取是带有一定主观信度的。
对于A利用（6），（7）式和表9-2进行检验成为一致性检验。
对于（2）式给出的A可以算出，λ=5.073，归一化的特征向量
w=(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T.
由（6）式在表9-2中查出RI=1.12.按（7）式计算，组合权向量在旅游决策问题中我们已经得到了第2层（准则层）对第1层（目标层，只有一个因素）的权向量，记作w(2)=(w1(2),…，w5(2))T（即由（2）式的A算出的w）。用同样的方法构造第3层（方案层，见图9-1）对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设他们为这里距阵Bk(k=1,…，5）中的元素bij(k)是方案（旅游地）Pi与Pj对于准则Ck(景色、费用等）的优越性的比较尺度。
由第3层的成对比较阵Bk计算出权向量wk(3)，最大特征根λk和一致性指标CIk，结果列入下表
表9-3旅游决策问题第3层的计算结果不难看出，由于n=3时随机一致性指标RI=0.58(表9-2），所以上面的CIk均可通过一致性检验。
下面的问题是由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对一准则的权向量wk(3)(k=1,…，5），计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作w(3)。对于方案P1，它在景色等5个准则中的权重用wk(3)第1个分量表示（图9-3中wk(3)的第一行），而5各准则对于目标的权重又用权向量w(2)表示，所以方案P1在目标中的组合权重应为它们相应的两两乘积之和，即
0.595*0.263+0.82*0.475+0.429*1.055
+0.633*0.099+0.166*0.110=0.300

同样可以计算P2,P3在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是组合向量w(3)=(0.300,0.246,0.456)T.结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于P1,P2，应作为第1选择地点。由上述计算可知，对于3个层次的决策问题。若第1层只有1个因素，第2、3层分别有n、m个因素，记第2、3层对第1、2层的权向量分别为：
w(2)=(w1(2),…，wn(2))T
wk(3)=(wk1(3),…，wkn(3))T,k=1,2，…，n
以wk(3)为列向量构成矩阵
W(3)=[w1(3),…，wn(3)]
则第3层对第1层的组合权向量为
w(3)=W(3)w(2)（8）
更一般地，若共有s层，则第k层对第1层（设只有1个因素）的组合权向量为
w(k)=W(k)w(k),k=3,4,…，s（9）
其中W(k)是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第s层）对最上面一层的组合权向量为
w(s)=W(s)W(s-1)…W(3)w(2)(10)