重庆市南开中学高2023届高三月考数学 WORD版含解析.doc

重庆市南开中学高2023届高三九月考
数学考试
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知复数写出其共轭复数，利用复数除法化简.
【详解】由题设，故.
故选：C
2.命题的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.
【详解】命题的否定是.
故选；C.
3.设集合，且，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，再由并集的定义求解即可
【详解】因为或，，，
所以，
故选：D
4.若曲线在点处的切线方程为，则（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a.
【详解】由题设，则，又，
所以，故.
故选：B
5.橙子辅导中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分层抽样的定义结合平均数的计算公式即可得出答案.
【详解】设橙子辅导中学的总人数为，
由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：，
所以估计该高中学生平均身高为：.
故选：A.
6.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式判断出，再根据函数单调性判断出，从而求出答案.
【详解】由基本不等式得：，所以，
因为单调递增，
所以，
所以
故选：B.
7.圆上一点发出的光线经轴反射后经过点，则光线从点到点的最短路程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点关于轴的对称点为，求出圆心的坐标以及圆的半径，作出图形，分析可知光线从点到点的最短路程，即可得解.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径长为，
如下图所示：

设点关于轴的对称点为，设反射光线交轴于点，，
则，所以，光线从点到点的路程为，
光线从点到点的最短路程为.
故选：B.
8.公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（）

A.图①，长为､宽为的矩形的两端去掉两个弦长为､半径为的弓形
B.图②，长为､宽为的矩形的两端补上两个弦长为､半径为的弓形
C.图③，长为､宽为的矩形的两端去掉两个底边长为､腰长为的等腰三角形
D.图④，长为､宽为的矩形的两端补上两个底边长为､腰长为的等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据在轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设，与双曲线相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.
【详解】由得：，
则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为；
将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，
对于③，双曲线实轴长为，③中轴的最短距离为，不合题意，③错误；
对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误；
对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合；
当与①中图形相交时，两交点之间距离为，
此时圆环面积为，不合题意，①错误
对于②，在轴的最长距离为，矩形高为，与几何体吻合；
当与②中图形相交时，两交点之间距离为，
此时圆面积为，与圆环面积相同，满足题意，②正确.

故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知角的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设可得，，结合三角函数的性质及各选项描述即可判断正误.
【详解】由题设，，故，，