备战2019高考数学大二轮复习专题五立体几何专题能力训练15立体几何中的向量方法理.doc

9专题能力训练15立体几何中的向量方法一、能力突破训练1.如图正方形ABCD的中心为O四边形OBEF为矩形平面OBEF⊥平面ABCD点G为AB的中点AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点且AH=HF求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.2.(2018北京理16)如图在三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABCDEFG分别为AA1ACA1C1BB1的中点AB=BC=AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.3.如图几何体是圆柱的一部分它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的G是的中点.(1)设P是上的一点且AP⊥BE求∠CBP的大小;(2)当AB=3AD=2时求二面角E-AG-C的大小.4.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P使得DP∥平面B1AE?若存在求AP的长;若不存在说明理由.5.如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为正方形平面PAD⊥平面ABCD点M在线段PB上PD∥平面MACPA=PD=AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.6.如图AB是半圆O的直径C是半圆O上除AB外的一个动点DC垂直于半圆O所在的平面DC∥EBDC=EBAB=4tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时求二面角D-AE-B的余弦值.二、思维提升训练7.如图甲所示BO是梯形ABCD的高∠BAD=45°OB=BC=1OD=3OA现将梯形ABCD沿OB折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD使得PC=E是线段PB上一动点.(1)证明:DE和PC不可能垂直;(2)当PE=2BE时求PD与平面CDE所成角的正弦值.8.如图平面PAD⊥平面ABCD四边形ABCD为正方形∠PAD=90°且PA=AD=2;EFG分别是线段PAPDCD的中点.(1)求证:PB∥平面EFG.(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.(3)在线段CD上是否存在一点Q使得点A到平面EFQ的距离为?若存在求出CQ的值;若不存在请说明理由.专题能力训练15立体几何中的向量方法一、能力突破训练1.解依题意OF⊥平面ABCD如图以O为原点分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意可得O(000)A(-110)B(-1-10)C(1-10)D(110)E(-1-12)F(002)G(-100).(1)证明:依题意=(200)=(1-12).设n1=(xyz)为平面ADF的法向量则不妨设z=1可得n1=(021)又=(01-2)可得n1=0又因为直线EG⊄平面ADF所以EG∥平面ADF.(2)易证=(-110)为平面OEF的一个法向量.依题意=(110)=(-112).设n2=(xyz)为平面CEF的法向量则不妨设x=1可得n2=(1-11).因此有cos<n2>==-于是sin<n2>=所以二面角O-EF-C的正弦值为(3)由AH=HF得AH=AF.因为=(1-12)所以进而有H从而因此cos<n2>==-所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为2.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中∵CC1⊥平面ABC∴四边形A1ACC1为矩形.又EF分别为ACA1C1的中点∴AC⊥EF.∵AB=BC∴AC⊥BE∴AC⊥平面BEF.(2)解由(1)知AC⊥EFAC⊥BEEF∥CC1.∵CC1⊥平面ABC∴EF⊥平面ABC.∵BE⊂平面ABC∴EF⊥BE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(020)C(-100)D(101)F(002)G(021).=(201)=(120).设平面BCD的法向量为n=(abc)则令a=2则b=-1c=-4∴平面BCD的法向量n=(2-1-4).又平面CDC1的法向量为=(020)∴cos<n>==-由图可得二面角B-CD-C1为钝角∴二面角B-CD-C1的余弦值为-(3)证明平面BCD的法向量为n=(2-1-4)∵G(021)F(002)=(0-21)∴n=-2∴n与不垂直∴FG与平面BCD不平行且不在平面BCD内∴FG与平面BCD相交.3.解(1)因为AP⊥BEAB⊥BEABAP⊂平面ABPAB∩AP=A所以BE⊥平面ABP又BP⊂平面ABP所以BE⊥BP又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)解法一:取的中点H连接EHGHCH.因为∠EBC=120°所以四边形BEHC为菱形所以AE=GE=AC=GC=取AG中点