王树然李天磊姜磊.docx

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员(打印并签名)：1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评
阅
人

评
分

备
注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

降落伞的选购模型
摘要
本模型研究的是空投物资所用降落伞的选购问题，在满足降落伞落地时速度不超过的前提条件下将物资全部安全空投到救灾区，要求所购买的降落伞的费用最少。
为方便研究，我们将伞面、绳索、物资看成整体，忽略伞和绳索的质量。首先确定不同半径的降落伞的价格，运用勾股定理计算单根绳长，根据已知伞面费用、半径、绳索单价以及固定费用得出不同半径伞的价格。分析物体的运动状态，根据假设降落伞竖直向上只受空气阻力和自身的重力作用，水平方向不受力。通过对降落伞受力分析建立起了高度与时间的方程，根据（高度）和（时间）的一阶导得出的图像可知，物体做向下加速度减小的加速运动，到开始向下做匀速运动，根据牛顿第二定律计算空气阻力系数，首先得出（高度）和（时间）的二阶导函数，利用加速度以及结合表二运用Matlab软件拟合出空气阻力系数值，根据已知物资在落地时速度必须小于，研究图像可知物资在空气阻力和自身重力的作用下在落地之前达到平衡状态，根据牛顿第二定律得知即就是，不同不同，这样就可以根据得出对应不同半径伞的最大载重量。下面就是解决最优解的问题，通过已知，空投物资必须大于等于以及降落伞的个数必须是正整数，得出目标函数的约束条件，根据每种伞的价格和个数列出目标函数。最后运用Lingo软件求解得:.即购买半径为的降落伞所需费用最少，最大载重量为，最低费用为。
关键字：空气阻力、勾股定理、线性规划、数据拟合
一、问题重述
为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长L,共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
22.533.54费用（元）651703506601000表1
降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表2。
时刻036912151821242730高度500470425372317264215160108551表2
试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。
二、模型假设
1．假设物体下落时初速度为0；
2．假设降落伞在空投的瞬间打开；
3．假设伞和绳子的重量忽略不计；
4．2000kg的物资可以任意分割；
5．假设降落伞水平方向不受力；
6．降落伞在下落的过程中只考虑空气阻力对其的影响；
三、符号说明
:购买半径为r的降落伞数目；
：空气的阻力；
：空气的阻力系数；
：降落伞的伞面费用；
：降落伞悬挂物资的绳索费用；
：降落伞的固定费用；
：降落伞所用的总费用；
：降落伞的半径；
：降落伞的最大载重量；
：降落伞离地的高度；
：降落伞的下落的位移；
：降落伞每根绳的长度；
：降落伞下落的加速度；
：重力加速度；
：降落伞的伞面面积；
四、问题分析
1．分析伞面费用：
由题意可知每个伞的价格，有三部分构成：伞面费用、绳索费用、固定费用，伞面费用由伞的半径决定，题目中已经给出伞面的具体费用，绳索费用由绳索的长度及单价所决定，根据题意“载重m的物体位于球心正下方球面处”（如图一