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电子双缝衍射实验的MATLAB演示
xxx
（xxxxxx理学院09级物理学1班云南玉溪653100）
指导老师：xxxx

摘要：依据电子衍射的几率密度函数，运用蒙特卡洛随机模拟方法，借助MATLAB编程和计算机可视化技术、绘图技术、构建电子双缝衍射的动态随机过程、清晰的展示电子双缝衍射的全过程。
关键字：电子双缝衍射；蒙特卡洛；几率密度函数；MATLAB;计算机模拟；波函数

1.引言
通过光的衍射现象和实验来进一步揭示光的波动性，说明衍射现象是光在空间或物质中传播的基本方式，同时说明衍射现象是讨论现代光学问题的基础[1]。1924年，法国物理学家德布罗意（L.V.deBroglie)提出物质波概念，并指出可以用晶体对电子的衍射实验加以证明。1961约恩孙（C.JOnsson)得到了电子单缝、双缝衍射，说明电子具有波动性[2]。M.Born(1926)提出把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来。他是在薛定谔方程来处理散射问题时为了解释散射粒子的角度分布提出来的。他认为量子力学中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理波动性，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波（probabilitywave）[3]。
电子双缝衍射[4-7]对实验仪器的稳定性要求很高，实验平台要求防震，环境的温度湿度都对实验有一定的影响。由美国Mathworks公司推出的MATLAB[8-11]是数值分析中较强的软件，具有强大的数值计算、数据可视化与编程、仿真和图形处理等功能，克服普通实验不利的因素，从而直观的展示电子双缝衍射的相关图像，加深对原理概念的理解。对电子双缝衍射几率密度的计算推导，采用MATLAB进行编程，分别画出e_number为100、1000、10000、20000个电子的双缝衍射图像与实验得出的进行比对，总结分析比对结果。

2.电子双缝衍射几率密度函数
2.1电子双缝衍射几率密度函数的理论
根据量子力学原理，任何微观粒子都具有波粒二象性。微观粒子的波动性并不是由于粒子大量聚集在空间中形成的，即波动性是单个微观粒子所具有的特性。若已知微观粒子的波函数[12,13]，则其模的平方表示的是微观粒子出现在z点附近的几率大小，与此相对应的就是波动光学中所说的光波强度，这被称为波函数的统计解释。设入射电子流很微弱，电子几乎是一个一个经过双缝然后在感光底片上被记录下来。起初，当感光时间较短时，底片上出现一些点子，它们看起来没什么规律。当感光时间足够长时，底片上出现的点子愈来愈多，就会发现有的地方点子很密，有的地方则几乎没有点子，最后在底片上呈现出有律明亮布的条文[1]。
2.2电子双缝衍射几率密度函数的计算
设质量为m的电子经电场加速后具有速度v，根据德布罗意的物质波理论，电子的动量和波长的关系为：

当(为光速)时，电子波的波长为：

式中U为加速电压。按照波动理论，电子穿过双缝应产生衍射现象。图1是电子双缝衍射原理图。

图1电子双缝衍射原理图

电子的双缝衍射强度分布函数为：

式中，为处的衍射强度，为衍射角，为缝宽，为双缝间距。当时(为缝与屏的间距)下式成立：

把式代入式得：

由式知，衍射强度最大值在处，且。令

则为处相对于的衍射强度，显然。
图l是电子双缝衍射的示意图。衍射屏位于平面，观测屏位于平面，缝和的宽度均为，两缝中心间距为，衍射屏到观测屏的距离为。设动量为、能量为E的自由电子沿轴正方向入射到双缝，其波函数为：

设在时刻，波前到达双缝处，由式可知，在双缝处波函数为一常数。设在衍射屏上的波函数为：

根据费曼的路径积分理论，电子经过双缝而在t时刻到达观测屏上P点的衍射波函数为：

式中，，所以，电子经过双缝在观测屏上P点出现的几率密度为：

设，则有：

代入有：

其中，，。
2.3电子双缝衍射动态过程的实现
根据几率密度函数分布的随机数系列，采用蒙特卡罗随机抽样的VonNeumannn的舍选发。
舍选发的具体内容为：
计算机在一定的范围内随机地选取观测屏一坐标点，并计算，其中，是几率密度函数在点的值，是几率密度函数的最大值；
计算机产生一个0到1之间均匀分布的随机数；
将与进行比较，若，则选取该点，若,则舍去该点，并重复至，重新选择坐标点。通过以上方法，即可以得到一个按分布的随机数序列。这个随机数序列就是实现电子衍射随机运动过程的依据。
3电子双缝衍射实验MATLAB的可视化
3.1电子双缝衍射的MATLAB程序
>>h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25;
>>rd=h/sqrt(2*m*e*U);%计算电子波长rd
>>A=(pi*a)