机械振动大作业——简支梁的各情况分析.docx

机械振动大作业

姓名：徐强
学号：SX1302106
专业：航空宇航推进理论与工程

能源与动力学院
2013年12月

简支梁的振动特性分析

题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：
单自由度简支梁的振动特性
如图1，正方形截面（取5mm×5mm）的简支梁，跨长为=1m，质量m沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为,固有频率ωn=，其中k为等效刚度，为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F作用在简支梁中间位置而引起的变形为（）,为最大挠度，则：==
梁本身的最大动能为：
=
Tmax=2×=
如果用表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：
Tmax=
所以质量为m的简支梁，等效到中间位置的全部质量为：

故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：
ωn==

图1简支梁的单自由度模型
双自由度简支梁的振动特性
如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在处的等效质量即可。在至之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：

所以，质量矩阵为：

双自由度简支梁的柔度矩阵：
在b=处作用单位力，挠曲线方程为：则处的变形为：，同理可求：，，其中。
所以，柔度矩阵为：

动力矩阵：

令特征行列式为零，得到频率方程为：

其中，，将上式整理得：

其中，。
解上述方程的根为：
,
,
由式，
其中，分别将、代入上式，得
第一、二阶主振型分别为：
，

图2简支梁的双自由度模型
三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：

因此，质量矩阵为：

由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
其中，。
动力矩阵：

令特征行列式为零，得到频率方程为：
其中，，将上式整理得：
其中，。
利用Matlab软件,求解上述方程的根为：
,
,
,
由式，
其中，分别将、、代入上式，得
第一、二、三阶主振型分别为：
，,

图3简支梁的三自由度模型

十自由度简支梁的数值方法
将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。

图4简支梁的十自由度模型
通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：

0.01370.02400.03060.03390.03440.03240.02840.02270.01580.00810.02400.04430.05790.06500.06640.06280.05520.04430.03090.01580.03060.05790.07870.09040.09340.08910.07870.06330.04430.02270.03390.06500.09040.10710.11310.10930.09730.07870.05520.02840.03440.06640.09340.11310.12290.12120.10930.08910.06280.03240.03240.06280.08910.10930.12120.12290.11310.09340.06640.03440.02840.05520.07870.09730.10930.11310.10710.09040.06500.03390.02270.04430.06330.07870.08910.09340.09040.07870.05790.03060.01580.03090.04430.05520.06280.06640.06500.05790.04430.02400.00810.01580.02270.02840.03240.03440.03390.03060.02400.0137表1十自由度挠度变形矩阵
十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于，因此，质量矩阵为：

动力矩阵为：

下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法
利用邓克莱法求基频（比准确值小）：

因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以，可求得：

2、瑞利法
（1）瑞利第一商
柔度矩阵求逆得刚度矩阵：
，其中，矩阵见表2。
2.0433-1.90030.7778-0.26490.16470.0356-0.28170.2834-0.0446-0.0926-1.90032.9228-2.46751.4375-0.68620.02990.5193-0.62260.