实现预定轨迹的平面四连杆机构的优化设计.docx

实现预定轨迹的平面四连杆机构的
数学建模及其优化设计
一．问题描述
设计一平面四连杆机构，如图1所示。要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹，，因传递力的需要，最小转动角大于50度。

图1
二．建立优化数学模型
1．确定设计变量
根据设计要求，由机械原理知识可知，设计变量有L1、L2、L3、L4、。将曲柄的长度取为一个单位长度1，其余三杆长可表示为L1的倍数。由图1所示的几何关系可知

为杆长的函数。另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架L4的长度，取L4=5，经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以，该优化问题的设计变量为

因此。本优化设计为一个二维优化问题。
2.建立目标函数
按轨迹的优化设计，可以将连杆上M点与预期轨迹点坐标偏差最小为寻优目标，其偏差为和，如图2。为此，把摇杆运动区间2到5分成S等分，M点坐标有相应分点与之对应。将各分点标号记作，根据均方根差可建立其目标函数，即

，S为运动区间的分段数

于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式，对应于每一个机构设计方案（即给定），即可计算出均方根差。

图2
3.确定约束条件
根据设计条件，该机构的约束条件有两个方面：一是传递运动过程中的最小传动角应大于50度；二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。以此为基础建立优化线束条件。
=1\*GB3\*MERGEFORMAT①保证传动角

图3
按传动条件，根据图3可能发生传动角最小值的位置图，由余弦定理

所以
（a）

所以
（b）
式（a）、（b）为两个约束条件，将，，，代入式（a）、（b），得

=2\*GB3\*MERGEFORMAT②曲柄存在的条件
按曲柄存在条件，由机械原理知识可知
，，
，
把它们写成不等式约束条件（将，，，代入上式），得

经过分析，上述七个约束条件式中，和为紧约束条件，为松约束条件，即满足和的，必满足不等式，所以本优化问题实际起作用的只有和两个不等式约束条件。
4.写出优化数学模型
综上所述，可得本优化问题的数学模型为

即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。
三．选择优化方法及优化结果
选取Matlab2011a版优化工具箱进行本优化问题优化。取初始点，优化结果为
，
即L2=5.10（长度单位），L3=2.69（长度单位）；