动态系统响应分析的数值法及其程序设计.docx

第三章动态系统响应分析的数值方法

第二章讲述了针对一个动力学系统的数学模型建立的基本方法，接下来的问题是需要针对所建立的方程的求解问题。有些简单问题我们可以通过数学的方法给出其解析解，但是对于更复杂的问题，要得到其解析解是非常困难的事情，然而针对系统的仿真问题，其理论基础是面向数学模型的数值解，因此数值解法奠定了计算机仿真的最重要的计算基础。
本章将介绍连续系统的数学模型，然后介绍几个微分方程的数值解法。在此基础上可以建立面向微分方程的或传递函数的数字仿真程序.
我们知道，仿真模型不是唯一的形式，但他们都是由积分器、加法器和系数器构成的。其中积分器是仿真系统中最重要的环节，N阶微分方程有N个积分器，为了在数字机器上对它进行仿真，最直观的想法就是构造出N个积分器，也就是进行N次积分运算，因此这里涉及到数值积分和微分的一些方法。

§3-1数值积分法
求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如.牛顿-.欧拉、高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。

1欧拉法（折线法）

假设有一阶微分方程为：
选择初时时刻，在此位置做近似做切线有：
，可以解出
，
写成递推形式：其中是离散点的取值

2矩形法
假设一阶微分方程：
写成积分的形式：
这里是初值，由于不能得到的值,则积分项是未知的，为了得到近似值，可以将积分项用矩形计算公式来近似计算，即：

将其写出递推公式：

或：
对比欧拉折线方法可知，两种方法是一样的，

3梯形法refSHAPE\*MERGEFORMATError!Referencesourcenotfound.
为了得到更精确的计算结果，采用梯形方法，
将积分表达式写成如下形式

则
问题的提出，在计算时的表达式里要用到的值，实际上，上面的式子的积分项并不能计算结果，通常采用迭代运算方法：

当时，这个式子里面的为初值，实际上，这个表达式是前面所讲的矩形法公式，有了这个项，我们就可以计算下一步。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

在上面这一组式子中，其中的第二项可以认为是初值，第三项是要用到前一次的迭代运算。如果迭代序列是收敛的，则极限肯定存在，当趋向无穷大时，可以得到这个精确结果。
怎样给出迭代的精度呢？可以采用前一次的计算值和后一次的迭代值的差来控制。
即：为小量
在实际计算中，我们认为，迭代一次或者两次就认为满足精度。所以，可以写出下面的递推公式。

4差分公式
基于数值积分的欧拉方法，我们可以得到近似的微分计算方法，用函数的离散数据点来近似表达在节点处的微分，叫做数值微分。
（1）一阶系统的数值微分公式
设：应用离散数据点的近似微分，可以表示为：
令：称为采样时间
写成递推公式则有：（差分形式）：
除此之外还有一阶中心差分形式：

（2）二阶系统的数值微分公式
根据一阶差分公式，我们容易得到二阶差分如下：

，根据这个原理，还可以得到高阶数值微分公式。

在SIMULINK中，我们经常采用一种叫做单位延迟的离散模块，这样就可以方便的建立基于数值积分和微分的仿真模型了。
例如，设：分别对的近似积分和近似微分为：
近似积分计算公式为：
则近似差微商的计算公式为：
在离散模块库中的unitdelay(单位延迟模块)，在该模块中的采样周期（sampletime）和递推公式中的采样周期相同，在下图中使用了采样周期为0.01秒的正弦波的积分和导数离散仿真模型.

近似积分结果近似差商结果

§3-2龙格-库塔方法
龙格-库塔方法由于它具有较高的精度而在计算机仿真中就占有重要的地位，在此做简要介绍
1二阶龙格-库塔方法
将上述梯形法做进一步推广，可以得到龙格-库塔方法，对于：
：
假设我们从跨出一步，在时的解为,在附近做泰劳展开，只保留二次项，则有

其中：（3-38）
我们假设这个解可以写成：

（3-39）
即有：（3-40）
将（3-40）与（3-38）对比可知道，

四个未知数，有三个方程，可以自由的选择一个值令：于是有：

于是有一组方程为：

由于计算时，只取了和项，所以，上面的公式称为二阶龙格--库塔方法。

2四阶龙格-库塔方法
二阶龙格-库塔法仍然存在精度不高的缺点，通常采用的是四阶龙格-库塔方法。下面直接给出公式：

3．关于数值积分的精度