伯努利方程的应用.docx

，伯努利方程及其应用

伯努利，1738，瑞士。动能与压强势能相互转换。

沿流线的伯努利方程

将牛顿第二定律应用于控制体内的流体元，沿流线切线方向

整理后

因为

将流体元的加速度转换成欧拉形式的加速度，沿流线的质点导数为

则导出

此式为一维欧拉方程，使用下述关系将方程沿流线积分。两边乘以ds

得：

沿流线积分

此式为欧拉方程的积分式，适合于可压、无粘不定常运动。
对于不可压定常流动，则可简化为

此式为伯努利方程，三项分别表示单位质量流体具有的动能、位置势能和压强势能。即总机械能守恒。

应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式。

伯努利方程使用的限制条件（1）无粘性流体，（2）不可压流体（3）定常流（4）沿流线。

加入能量损失就可适应粘性流体。

皮托（pitot）测速管：总压强与动压强
皮托测速管又称为皮托-静压管，简称皮托管，为纪念法国人皮托命名。皮托测速管由粗细两根同轴的圆管组成，细管（直径约为1.5mm）前端开孔（O点），粗管（直径约为６mm）在距前端适当长距离处的侧壁上开数个小孔（B点），在孔后足够长距离处两管弯成柄状．测速时管轴线沿来流方向放置．设正前方的流速保持为，静压强为，流体密度为。粗细两管中的压强被引入Ｕ形测压计中，Ｕ形管中液体密度。试求用Ｕ形管液位差表示流速的关系式。

解：设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。从皮托管正前方Ａ点到端点Ｏ再到侧壁孔Ｂ点的ＡＯＢ线是一条流线，Ａ点的速度和压强分别为和，沿流线ＡＯ段按（Ｂ４．３．４）式列伯努利方程
+

在皮托管端点Ｏ，流体速度降至零，称为驻点，称为驻点压强，Ｕ形管右支管测到的即是驻点压强．由于，由（a）式可得

上式中称为动压强，为流体质点的动能全部转化为压强势能时应具有的压强．（b）式表明驻点压强为静压强和动压强之和，故称为总压强．由（b）式动压强可表为

由于皮托管较细，流线上的ＡＢ两点的位置差可忽略，伯
努利方程为

因，由上式，即Ｕ形管左支通过皮托管侧壁小孔测到的是当地静压强．在Ｕ形管内列压强关系式可得

由于实际流体具有粘性及皮托管加工误差等原因，流体动压强转化为Ｕ形管内液位差读数存在误差，需乘上一个修正系数,由（c）,（d）式可得

称为皮托管系数，可通过用标准皮托管作标定测量后确定．由（e）式可得

小孔出流：托里拆利公式及缩颈效应
从一个大容器侧壁下部距离液面为h处开一个小孔，设液面水位不变，求出流速度和出流流量。
解：

=

沿流线法向方向的速度压强关系式

由牛顿第二定律：得

考虑到几何关系，有

整理，得

忽略重力，得

若密度为常数，则有

此式为沿流线法向方向的伯努利方程，应用条件为（1）无粘性流体，（2）不可压流体（3）定常流（4）沿流线法向。
如果流线位直线时，曲率半径为无限大，则

此式与静压力公式相同。

沿总流的伯努利方程

将伯努利方程三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即

以截面平均流速V代替不均匀的速度分布，引入动能修正因子。有

考虑到质量守恒，得

对于一个缓变流的两个截面，有

例题：Venturi管：沿总流的伯努利方程

应用连续性方程

伯努利方程的意义

不可压缩粘性流体内流

管道入口流动示意图，

设管直径为d,管口外均流速度为U。从开始，流体在壁面上被滞止，形成边界层。边界层外仍保持为均流，称为核心流。由壁面不滑移条件引起壁面附近的流速降低，为满足质量守恒定律，核心流流速增大，速度廓线由平坦逐渐变为凸出。随着边界层厚度不断增长，核心流不断加速，直至处四周的边界层相遇，核心流消失，整个管腔被边界层流动充满，此后速度廓线不再变化。称为入口段流动或发展中流动的速度廓线，均可通过求解N-S方程获得。
入口段的压强损失，可利用动量方程求解。由例BD推导得管道入口段压强损失系数为

式中p0,pL分别为x=0和x=L处的压强。称为达西摩擦因子，它是管道形状，雷诺数和管壁粗糙度的函数，在充分发展定常流动中为常数（将在C3.6中详细讨论）。（C）式中的项为入口段中相应于充分发展段中的压强损失。K为入口段中特有的附加压强损失，它由两部分组成：=1\*GB3①将均流加速成充分发展流动所需要的压强系数；=2\*GB3②由于入口段壁面速度廓线陡峭，壁面切应力大于充分发展段的壁面切应力，为克服这部分阻力差值所需要增加的压强系数。入口段和充分发展段的压强损失系数曲线如图C3.2.1b(分别为实线和虚线)所示。
入口段附加压强损失K是入口段