PCA降维方法主成分分析降维.docx

一、简介
PCA（PrincipalComponentsAnalysis）即主成分分析，是图像处理中经常用到的降维方法，大家知道，我们在处理有关数字图像处理方面的问题时，比如经常用的图像的查询问题，在一个几万或者几百万甚至更大的数据库中查询一幅相近的图像。这时，我们通常的方法是对图像库中的图片提取响应的特征，如颜色，纹理，sift，surf，vlad等等特征，然后将其保存，建立响应的数据索引，然后对要查询的图像提取相应的特征，与数据库中的图像特征对比，找出与之最近的图片。这里，如果我们为了提高查询的准确率，通常会提取一些较为复杂的特征，如sift，surf等，一幅图像有很多个这种特征点，每个特征点又有一个相应的描述该特征点的128维的向量，设想如果一幅图像有300个这种特征点，那么该幅图像就有300*vector（128维）个，如果我们数据库中有一百万张图片，这个存储量是相当大的，建立索引也很耗时，如果我们对每个向量进行PCA处理，将其降维为64维，是不是很节约存储空间啊？对于学习图像处理的人来说，都知道PCA是降维的，但是，很多人不知道具体的原理，为此，我写这篇文章，来详细阐述一下PCA及其具体计算过程：
二、PCA原理
1、原始数据：
为了方便，我们假定数据是二维的，借助网络上的一组数据，如下：
x=[2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2,1,1.5,1.1]Ty=[2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9]T
2、计算协方差矩阵
什么是协方差矩阵？相信看这篇文章的人都学过数理统计，一些基本的常识都知道，但是，也许你很长时间不看了，都忘差不多了，为了方便大家更好的理解，这里先简单的回顾一下数理统计的相关知识，当然如果你知道协方差矩阵的求法你可以跳过这里。
（1）协方差矩阵：
首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出数理统计中的一些相关概念：
均值：
标准差：
方差：
既然我们都有这么多描述数据之间关系的统计量，为什么我们还要用协方差呢？我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解这几科成绩之间的关系，这时，我们就要用协方差，协方差就是一种用来度量两个随机变量关系的统计量，其定义为：

从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：

需要注意的是，协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算CN2【此乃组合数基本公式】个协方差，那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义：

这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个简单的三维的例子，假设数据集有三个维度{x,y,z}，则协方差矩阵为

可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。
（2）协方差矩阵的求法：
协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。下面我们将在matlab中用一个例子进行详细说明：
首先，随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数。

[cpp]viewplaincopy
MySample=fix(rand(10,3)*50)

根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。为了描述方便，我们先将三个维度的数据分别赋值：
[cpp]viewplaincopy
dim1=MySample(:,1);
dim2=MySample(:,2);
dim3=MySample(:,3);
%计算dim1与dim2，dim1与dim3，dim2与dim3的协方差：
sum((dim1-mean(dim1)).*(dim2-mean(dim2)))/(size(MySample,1)-1)%得到74.5333
sum((dim1-mean(dim1)).*(dim3-mean(dim3)))/(size(MySample,1)-1)%得到-10.0889
sum((dim2-mean(dim2)).*(dim3-mean(dim3)))/(size(MySample,1)-1)%得到-10***000
%搞清楚了这个后面就容易多了，协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差，下面我们依次计算：
std(dim1)^2%得到108.3222
std(dim2)^2%得到260.6222
std(dim3)^2%得到9