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电磁暂态数值积分方法
临沂师范学院物理系杜煜
摘要：电磁暂态仿真通常采用数值积分的方法求解系统的代数或微分、偏微分方程。电磁暂态仿真中的数值积分方法有梯形法，向前欧拉法，向后欧拉法，Simpson法和Gear2法等。本文就以上几种时域离散方法进行分析，并讨论其精度和稳定性，找到最优算法—CDA技术。
关键词：电磁暂态；数值积分；时域离散；精度；稳定性；CDA
ElectromagneticTransientNumericalIntegrationMethods
ABSTRACT:Electromagnetictransientsimulationusuallyadoptsnumericalintegrationmethodstosolvealgebraicordifferential,partialdifferentialequations.TheelectromagnetictransientsimulationnumericalintegrationmethodsincludeTrapezoidal,BackwardEuler,ForwardEuler,SimpsonandGearsecondorder.Thepaperanalysisthemethodsanddiscusstheaccuracyandstability,thenfindtheoptimalalgorithm,CDAtechnology.
KEYWORD:Electromagnetictransient;numericalintegration;time-domaindiscretion;accuracy;stability;CDA
中图分类号：TM412文献标识码：A文章编号：
0引言
电磁暂态过程仿真的主要目的在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便根据所得到的暂态过电压和过电流对相关电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施[1]。
电力系统电磁暂态过程仿真，需要详细考察元件的动态特性，一般采用微分方程描述，然后应用数值方法求解[2]。目前，电力系统仿真软件多采用隐式梯形积分方法或欧拉法对元件进行建模。梯形法会滤去接于电压源的电感上的高频电流，在电流强迫流经电感的情况下，又会放大跨接于电感上的高频电压。在前一情况下，梯形法的作用如积分器，它的性能很好；但在后一情况下，它作为微分器时性能很差，其结果表现为当电流的导数突变时的数值振荡，例如断路器遮断电流时的情况[3]。
1时域中的离散化技术
对集中参数储能元件电感和电容，其暂态过程可以通过常用的数值积分方法，如梯形法，向后欧拉法，向前欧拉法，Simpson法和Gear2法离散化来模拟，从而得到离散时间系统的模型。
1.1梯形算法
应用梯形积分公式，在SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的区间内取SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平均值
SKIPIF1<0
连续时间系统中，电感两端的电压和流过电感的电流之间的关系为
SKIPIF1<0（1）
根据梯形公式对上式两边从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0积分，并整理得
SKIPIF1<0（2）
为便于进行网络分析，将上述等式改写为
SKIPIF1<0（3）
SKIPIF1<0为历史项，只与前一时间步长的电压和电流值有关。
图1为连续时间系统和离散时间系统中电感电压和电流的关系。SKIPIF1<0
a)连续时间系统电感
SKIPIF1<0
b)离散后的等效电感
图1连续时间系统电感
和梯形法离散后的等效电感
可以看出，在离散时间系统中，电感SKIPIF1<0可由一个常数电导SKIPIF1<0和历史电流源SKIPIF1<0并联来表示。
应用梯形法可以验证，在离散时间系统中，电容SKIPIF1<0可由一个常数电导SKIPIF1<0和历史电流源SKIPIF1<0并联来表示。而时域中的电阻模型比较简单，电阻两端的电压和流过电阻的电流不存在积分（或微分）关系，因此离散时间系统模型与连续时间系统模型差别不大，只是在表达方式上有所区别。
1.2向后欧拉法
向后欧拉公式，用SKIPIF1<0时刻的SKIPIF1<0值代替整个计算步长中的值，近似积分公式为
SKIPIF1<0
根据向后欧拉积分公式对式（1）
SKIPIF1<0（4）
从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0积分，并整理得
SKIPIF1<0（5）
为便于进行网络分析，将上述等式改写为
SKIPIF1<0（6）
这里，SKIPIF1<0为历史项，只与前一时间步长的电流值有关。
图2为连续