空间向量基本定理.docx

《空间向量基本定理》教案

一、教学目标：
1．知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。
2．能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
二、教学重点：
运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学难点：
空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
四、教学过程
1．复习引入：
在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答）
由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？
结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）
注意：①向量；
②是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理；
2、问题探究：
“向量与平面平行”的概念：如果向量的基线平行于平面或在平面内，就称平行于平面，记作∥。
平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。
探究1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？
探究2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。
探究3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？
演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。
如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使得。
猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、“充分性”两方面进行）
（屏幕展示证明过程）
这就是共面向量定理：（板书并投影）
注意：
①三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。
②可用来证明四点共面问题。
3、问题探究：
4、猜想探究：
类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。
空间向量的分解定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得．
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
板演证明：（存在性和唯一性两方面）
唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足=x1+y1+z1，则x+y+z=x1+y1+z1，即(x－x1)+(y－y1)+(z－z1)=,又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
6、深化探究：
⑴表达式叫做的线性表达式，或线性组合；
⑵相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
牛刀小试：（对于空间向量的基底{、、}的理解）

提醒学生注意：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如:+、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
思考：在=x+y+z中，特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0,y=0时，与共线；当x=0,z=0时，与共线；当y=0,z=0时，与共线.这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。
7．例题
例1．已知平行六面体中，设=，
=，=，试用用基底{、、}表示以下向量：
（1），（2），（3）（4）

这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。
8．课堂练习：
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
已知平行六面体中，设=，
=，=，试用用基底
{、、}表示以下向量：（