线性代数试卷与答案.docx

一、填空：（每空2分，共34分）
1、阶行列式按照定义的完全展开式为；该行列式的展开式中共项。
2、设向量组线性相关，则，向量组的一个极大线性无关组为。
3、为三阶矩阵，且，为的伴随矩阵，则，。
4、阶矩阵不可逆，且的伴随矩阵，则线性方程组的一个基础解系中含有个解向量。
5、设矩阵，矩阵，
且，则=，。
6、为三阶矩阵，将的第二列与第三列交换得到矩阵，再把矩阵的第一列加到第二列得到矩阵，则满足的可逆矩阵＝。
7、设向量则矩阵，
。
8、若矩阵与对角形矩阵相似，则，且。
9、设矩阵的秩为2，且，均不可逆，则的特征值为，实对称矩阵与相似，则二次型的规范形是，此二次型（填是或不是）正定二次型。

二、计算题（要求写出计算过程）
1、计算行列式
2、求齐次线性方程组的一个标准正交的基础解系。
3、设矩阵，矩阵满足方程，其中为的伴随矩阵，求矩阵。
4、设矩阵有一个二重特征值，求参数的值，并判断矩阵能否与对角形矩阵相似，说明理由。
三、设线性方程组，问取何值时，方程组有解；有解时求出方程组的通解。

四、（14分）已知二次型

1、写出二次型的矩阵
2、用正交变换法将二次型化为标准形，并写出所做正交变换及二次型标准形。

五、证明题：
1、设矩阵满足，证明：可逆，并求。
2、设与是非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，是对应的齐次线性方程组的一个非零解，证明：
（1）向量组线性无关；
（2）若矩
阵的秩，则向量组线性相关。

一、填空（每空2分，共34分）
1、；2、；
3、；34、1
5、；06、
7、；8、；
9、；；不是
二、计算题
1、解：-------2分
---------4分------7分
2、解：---------2分
所以方程组的一个基础解系为------------4分
标准正交化得一标准正交的基础解系为：---------7分
3、解：因为，由可得，
所以------------------4分
，-----------6分
--------------8分
4、解：由-------------4分
因为，，只有一个线性无关的特征向量，所以矩阵不能与对角形矩阵相似。---------8分
三、解：
所以时，方程组有解------------------------2分
方程组为，则一般解为---4分
方程组特解为：，导出组的一个基础解系为，-------------10分
所以方程组的通解为：，为任意常数------------------12分
四、1、------------------2分
2、，所以----------5分
对于可得两个线性无关的特征向量，施密特正交化可得两个标准正交的特征向量，---9分
对于，可得，标准化得---------11分
令，则在下，二次型化为--------14分

五、证明题
1、证明：因为------------------3分
所以可逆，且。------------------5分
2、证明：（1）设，则--------1分
即，所以，从而，由推出
所以和线性无关-----------------3分
（2）因为，所以和线性相关，即存在不全为零的使得
，，否则必有与不全为零矛盾。
所以，即线性相关。---------------5分