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《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率

§1.1随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：
二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：
§1.2概率
古典概型公式：P（A）=实用中经常采用“排列组合”的方法计算
补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？
解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：
Α所含样本点数：

补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？
解：设Ai：“信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=？
Ω所含样本点数：
A1所含样本点数：

A2所含样本点数：

A3所含样本点数：

注：由概率定义得出的几个性质：
1、0<P（A）<1
2、P(Ω)=1，P(φ)=0

§1.3概率的加法法则

定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：
P（A∪B）=P（A）+P（B）
推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则
P(A1+A2+...+An)=1
推论3：P（A）=1－P（）
推论4：若BA，则P(B－A)=P(B)－P(A)
推论5（广义加法公式）：
对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
补充——对偶律：

§1.4条件概率与乘法法则
条件概率公式：P(A/B)=（P(B)≠0）P(B/A)=（P(A)≠0）
∴P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）
有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）联系解题。

全概率与逆概率公式：
全概率公式：
逆概率公式：
（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）

§1.5独立试验概型
事件的独立性：

贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）：课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理：有四对事件：A与B、A与、与B、与，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。
2、公式：
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列：
⑴确定各种事件，记为写成一行；
⑵计算各种事件概率，记为pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。
注意：应符合性质——1、（非负性）2、（可加性和规范性）
补例1：将一颗骰子连掷2次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率分布。
解：Ω所含样本点数：6×6=36
所求分布列为：











pk













补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。
解：Ω所含样本点数：=10
6/10
3/10
1/10
pk
5
4
3

所求分布列为：

2、求分布函数F(x)：
分布函数

二、关于连续型随机变量的分布问题：
x∈R，如果随机变量的分布函数F（x）可写成F（x）=，则为连续型。称概率密度函数。

解题中应该知道的几个关系式：

第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量的数学期望E=？
数学期望（均值）

二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则η=f()也是随机变量，求Eη=?
x1x2…xkpkp1p2…pkη=f()y1y2…yk以上计算只要求这种离散型的。

补例1：设的概率分布为：
－1012pk求：⑴，的概率分布；⑵。
解：因为
－1012pkη=－－2－101η=1014所以，所求分布列为：
η=－－2－101pk和：
η=1014pk
当η=－1时，Eη=E（－1）
=－2×+(－1)×+0×+1×+×
=1/4
当η=时，Eη=E=1×+0×+1×+4×+×
=27/8

三、求或η的方差D=？Dη=？
实用公式=－
其中，==
=

补例2：
－202pk0.40.30.3求：E和D

解：=－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
2=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
=2－=2.8－（－0.2）2=2.76
第四章几种重要的分布
常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）
名称概率分布或密度期望方差参数
范围二项分布npnpq0<P