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浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

有人说，Lebesgue积分是Riemann积分的推广。然而对广义Riemann积分来说，Riemann积分的可积性并不意味着Lebesgue积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。
一、积分定义
Riemann积分定义假设是区间上的函数，若存在某个常数A，使得对区间的任意分割：及任意只要就有

则称在上Riemann可积。
Lebesgue积分定义设是测度有限的可测集，是定义在E上的有界可测函数，即存在,使若是得任一分点组，则记
，
对任意，作和式
，
则称在上是Lebesegue可积的。
若是上的可测函数，且，如果在上的积分至少有一个不为，则称在上有积分，并记

若为有限数，则称在上Lebesgue可积。
二、L积分与R积分的联系
由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性，所以我们有
定理如果有界函数在闭区间是R可积的，则在也是L可积的，且
，
此处表示在上的L积分，表示在上的R积分。
证明：因为是有界函数，所以只需证明是上的可测函数。
由于是R可积的，取的分点组，

，
记分别为在的下确界与上确界，由R积分的定义知
。
令为如下的函数列：

=
则因，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以

于是，即
注意到都是有机可测的，所以是非负L可积函数，从而
。又
，
，
这说明
，
所以即，
由定理3（曹广福版<实变函数>上76页）知,进一步。因此在上可测。证毕。
上述定理中，如果是在上广义R可积，则不一定成立。然而，通过一些条件变换，我们有
定理若在上广义R可积，且不变号，则L可积，且积分值相等。
证明：就无界函数，积分值域为，仅在无界，在上非负来证明。令

则每个，都是非负的有界可测函数，容易证明
，且
由Levi定理
=
=。证毕
三、L积分与R积分的区别
从L积分与R积分的定义来看，两种积分的主要区别是，R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是得度量容易给出，但是当分发的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大。L积分的优点是函数在上的振幅较小，但不再是区间，而是可测集。L积分理论是在测度理论基础上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局限于上，从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。
而在重积分运算时，R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等，而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。
另一方面，R积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交换问题，条件要求非常苛刻，被积函数必须一致收敛，极限才能通过积分号，不仅计算起来不方便，而且限制过强，L积分的要求就要比R积分少得多，只要函数非负即可。就L控制收敛定理而言，只需存在控制函数使得<即可，因此在积分与极限交换次序这个问题上，L积分要比R积分灵活方便的多。
L积分与R积分的区别，受限于自身的学力，只能对上述问题进行初步探讨。
三、总结
本文从L积分与R积分的定义，相关积分计算，积分范围，积分与极限交换次序等简要叙述了两种积分的区别；在普遍意义与广义R积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。
L积分的诞生是基于R积分本身出现的问题，如在某些求极限问题上，涉及到无界区间时等，L积分的出现，使可积函数的范围扩大，为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论，也为泛函分析的产生奠定了基础，当然L积分的作用远远不止这些，不过由于自身的的学识，只能较浅显的对两种积分进行讨论。

参考文献
[1]曹广福，《实变函数与泛函分析（上）》（M），高等教育出版社，2011；
[2]华师大数学系，《数学分析》（M），高等教育出版社，2001；
[3]胡长松，《实变函数》（M），科学出版社，2002；
[4]黄仿伦，《实变函数》）（M），安徽大学出版社，2001；
[5]何穗，刘思敏，喻小培等，《实变函数》（M），科学出版社，2006。