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有限元法在应力强度因子计算中的应用
马源[e-mail]（原创）
摘要：本文构建了含裂纹平板的二位1/4模型及三维1/2模型，分别用于计算张开型、滑移型和撕开型裂纹尖端应力强度因子。有限元分析的结果在误差范围内可以较好地与解析解吻合。计算结果表明，裂纹周向单元的划分会严重影响有限元计算的结果，三维模型沿厚度方向提高划分密度可以有效提高计算精度。
关键词：有限元应力强度因子精度分析1
1前言
工程分析中，材料中的裂纹会对结构可靠性带来很大的影响。历史上有很多航空航天事故、建筑事故都是由于裂纹引起的断裂导致结构失效的。为了检验结构是否能够一般用于判断裂纹是否延伸的重要判据就是应力强度因子K（StressIntensityFactor，SIF）。对于任何材料，其应力强度因子极限KC只与材料本身的属性有关，而和裂纹尺寸、裂纹周围应力强度无关。在具体的工程分析中，评估含裂纹结构稳定性，只需要计算含裂纹结构在要求的工况下的裂纹尖端应力强度因子K值，若K>Kc，则裂纹会发生扩展，导致结构失效。
具体工况下，应力强度因子K的计算可以通过多种方法完成。弹性力学给出了三种基本断裂模式（分别为张开型、滑移型和撕开型，见图1）的应力强度因子解析解。但是对于一般几何结构而言，求解析解的复杂程度会随结构的复杂程度成倍增加，很多情况甚至无法求出解析解。有限单元法及边界元法可以用于具有复杂几何结构的含裂纹模型分析。有限单元法中，经常使用的方法包括1/4节点位移法和J积分法。本文使用有限元法建立裂纹的二维、三维模型，分别求解I型、II型和III型裂纹的应力强度因子，并对有限元法求解应力强度因子的精确性进行分析。
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（a）（b）（c）
图1张开型（a）、滑移型（b）和撕开型（c）裂纹的受力状态1马源机械71班2007010423
Email：[e-mail]1/7
2有限元法求解应力强度因子理论分析
有限元法求解应力强度因子的方法包括1/4节点法、J积分法等方法，其中，J积分法计算应力强度因子时的计算过程较为繁杂，不便于多次重复求解分析，因此本文选择1/4节点法计算裂纹尖端应力强度因子K值。
使用ANSYS有限元分析软件计算K值时，只需要将裂纹尖端进行1/4节点划分（图2），进行求解，再沿着裂纹设定相应的路径，即可自动求解出该模型、边界条件下的裂纹尖端应力强度因子值。
弹性力学给出裂纹尖端应力强度因子的解析解与1/4节点位移的关系如（1）式。

K=(1)其中，u(1/4)为1/4节点的位移。

图2二维、三维单元1/4节点
3有限元分析模型的构建
为了对张开型、滑移型和撕开型裂纹应力强度因子进行有限元求解，本文分别构建了二维1/4模型（PLANE82）和三维1/2模型（SOLID45及SOLID95）。其中，PLANE82为平面8节点单元，SOLID95为三维20节点单元。（图3）。

图3平面1/4模型和三维1/2模型
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图中，网格最密集的中心即为裂纹尖端（如箭头所指），裂纹尖端向左侧即为裂纹。为了使用1/4节点法计算应力强度因子，需要对裂纹尖端周围的单元进行1/4节点设置（见图2）。二维单元设置1/4节点可以使用KSCON命令实现。该命令可以控制裂纹尖端周围单元的划分。包括周向单元数以及第一周单元的尺寸。
三维模型无法使用KSCON命令对单元进行自动划分，因此需要通过直接设定节点坐标再构建单元的方法进行建模。考虑到裂纹两侧表面在分析中设为距离为0，则两层节点会拥有相同的坐标。层与层之间的节点也会出现坐标重合的现象。为了保证计算精度，需要将层与层见的重合节点进行融合，同时还要保证裂纹两侧的节点不被融合。这个过程是通过节点的选择完成的。
4裂纹尖端应力强度因子的计算
4.1张开型裂纹应力强度因子的计算
张开型裂纹常被记为I型裂纹，弹性力学给出了无限大平面上张开型裂纹尖端应力强度因子的计算公式

KI=(2)
实际问题中，大部分模型不可能具有无限大的外形，因此有限宽度板件上的裂纹尖端应力强度因子往往更能够说明问题。有限宽度板件的裂纹尖端应力强度因子修正公式是

KI=(3)此情况下的受力状态如图4
图4有限宽度平板张开型裂纹计算模型简图
为以上模型进行如下赋值计算：一块宽度为2b,高度为2h,其中间沿宽度方向有长度为2a的裂纹，平板沿高度方向两侧承受拉力σ。
材料：E=30⨯10psi,υ=0.3
几何：a=1in,b=5in,h=5in

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载荷：σ=0.5641895psi
分别使用上文所述的平面模型和三维模型进行分析计算时，可以得到KI计算结果如表1
表1平面、三维模型求解张开型裂纹尖端应力强度因子结果
KI
二维模型
三维模型
理论解1.02491.0249数值解1.05870