新人民教育出版版高中数学必修五等差数列和等比数列的综合应用学案.docx

山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习学案：等差数列和等比数列的综合应用

1．等差数列的常用性质：
⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．
⑵{an}是等差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)是数列．
⑶Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴a1>0，d<0时，解不等式组可解得Sn达到最值时n的值．
⑵a1<0，d>0时，解不等式组可解得Sn达到最小值时n的值．
3．等比数列的常用性质：
⑴m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有．
⑵{an}是等比数列，则{a}、{}是数列．
⑶若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成数列．
典型例题

例1.是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：
①a＋b＋c＝6
②a、b、c成等差数列．
③将a、b、c适当排列后成等比数列．
解：设存在这样的三位数a，b，c．
由a＋b＋c＝6，2b＝a＋c得：b＝2，a＋c＝4
①若b为等比中项，则ac＝4，∴a＝c＝2与题设a≠c相矛盾．
②若a为等比中项，则a2＝2c，则a＝c＝2(舍去)或a＝－4，c＝8．
③若c为等比中项，则c2＝2a，解得c＝a＝2(舍去)或c＝－4，a＝8．
∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．
变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（）
A．等差数列B．等比数列
C．既成等差数列又成等比数列D．以上答案都不是
答案：B。解析：由，由，由
∴，即成等比数列。
例2.已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．
解：设{}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列，
∴()2＝·
∴(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)
化简得d2＝，∴＝d
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为
＋＋＝
∴3·＝·
∴·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3
2d·6d＝3∴d＝，＝
∴＝＋(n－1)d＝
∴an＝
变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。
解析：由成等差数列，则
∴
即成等差数列。
例3.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．
解：由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，B＝60°，由a、b、c成等比数列，有b2＝ac
cosB＝＝＝
得(a－c)2＝0，∴a＝c∴△ABC为等边三角形．
变式训练3.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则=（）
A.4B.2C.-2D.-4
答案：D.解析：依题意有
例4.数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……
求：⑴a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；
⑵a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
解析：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝
由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()n－2(n≥2)
∴{an}通项公式为an＝
(2)由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列.
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝×
＝[()2n－1]
变式训练4.设数列的前项的和，
求首项与通项。
解析：（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得：（其中n为正整数）
归纳小结

归纳小结

1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．
4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点．